Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

TOPIC:CÁC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 9 VÀ VÀO LỚP 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 43 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 01-01-2016 - 22:31

Chào các bạn :D 
Nhằm đáp ứng nhu cầu lí thuyết, bài tập về mảng số học. Thì tớ xin mở TOPIC này để cung cấp bài tập,lí thuyết và tổng hợp các vấn đề câu hỏi mà bạn đặt ra cho từng phần (kể cả bài sáng tác). TOPIC có quy định như sau : 
1. LATEX RÕ RÀNG 
2. Lí thuyết sẽ do tớ đăng lên nếu bạn nào có thắc mắc hay bổ sung thì liên hệ với mình qua tin nhắn. Tớ sẽ bổ sung . Và mọi thắc mắc cũng vậy.
3.Mỗi tuần chúng ta sẽ thảo luận và đặt câu hỏi mỗi chuyên đề. Sau đó chúng ta sẽ chuyển sang đề khác (Lí do : Thời gian có hạn và tớ cũng muốn chuẩn bị kiến thức đầy đủ cho nhiều bạn trong kì thi học sinh giỏi sắp tới)
4. Hãy mở rộng bài toán nếu các bạn có thể. 
Giờ đi vào nội dung tớ sẽ thời gian thảo luận các chuyên đề như sau : 
Tuần 1: Phép chia hết và phép chia có dư 
Tuần 2 : Đồng dư thức 
Tuần 3 : Số nguyên tố 
Tuần 4 : Biểu diễn dưới dạng cơ số 10 của một số tự nhiên và một số dấu hiệu chia hết 
Tuần 5 : Số chính phương và lập phương đúng 
Tuần 6 : Phương pháp quy nạp toán học 
Tuần 7 : Phần nguyên của một số thực 
Tuần 8 : Phương trình nghiệm nguyên 
Tuần 9 : Nguyên tắc Dirichlet 
Tuần 10 : Nguyên tắc cực hạn 
Tuần 11 : Giải bài toán bằng tính chất bất biến. 
Mong các anh chị trong diễn đàn giúp đỡ TOPIC này . (Lần đầu em mới lập  :icon9: )



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 01-01-2016 - 22:57

Lí thuyết 
Định lí :  Cho $a,b$ là hai số nguyên và $b$ khác $0$ . Khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên $(q,r)$ sao cho $a=bq+r$ và $0 \le r \le |b|-1$
1) Ước số chung lớn nhất 
a) $k(a,b)=(ka,kb)$ với $k>0$ 
b) $(a,b)=(b,a-b)$ 
c) Nếu $(a,c)=1$ thì $(ab,c)=(b,c)$ 
d) $(a_1,a_2,..,a_n)=(d,a_n)$ trong đó $d=(a_1,a_2,..,a_{n-1})$  
e) Cho $(a,b)=d$ khi đó nếu $d'$ là ước chung của $a,b$ thì $d'$ là ước của $d$ 
2) Bội số chung nhỏ nhất 
a) Với $k>0$ thì $k[a,b]=[ka,kb]$ 
b) Nếu $d$ là ước chung nguyên dương của $a,b$ thì  $\frac{[a,b]}{d}=[\frac{a}{d},\frac{b}{d}]$ 
c) $(a,b).[a,b]=ab$ với $a,b$ cùng dấu 
d) $[a_1,a_2,..,a_n]=[m,a_n]$ trong đó $m=[a_1,a_2,..,a_{n-1}]$  
e) Cho $[a,b]=m$ khi đó nếu $m'$ là bội chung của $a,b$ thì $m'$ là bội của $m$ 
3) Một số tính chất khác : 
a) nếu $a$ chia hết cho $m$ và $n$ mà $m,n$ nguyên tố cùng nhau thì $a \vdots mn$ 
b) Nếu $(b,c)=1$ và $ab \vdots c$ thì $a \vdots c$ 
c) Cho $p$ là số nguyên tố khi đó nếu $ab \vdots p$ thì $a \vdots p$ hoặc $b \vdots p$ 
d) Khi chia $n+1$ số nguyên dương liên tiếp cho $n (n \ge 1)$ luôn nhận được $2$ số dư bằng nhau 
e) Trong $n$ số nguyên liên tiếp $(n \ge 1)$ luôn có duy nhất một số chia hết cho $n$ 
f)  Nếu $(a,b)=d$ thì tồn tại $2$ số nguyên $x,y$ sao cho : $ax+by=d$  
Hệ quả : $(a,b)=1$ khi và chỉ khi tồn tại $2$ số nguyên sao cho $ax+by=1$ 


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 02-01-2016 - 09:46


#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 01-01-2016 - 23:05

Ta đi đến với các bài tập đơn giản như sau : 
Bài 1: Cho $a \in Z$. Tìm $(2a+3,3a+4)$
Bài 2: Chứng minh với mọi số nguyên $n$ thì ta có $n^3+5n$ chia hết cho $6$
Bài 3 : Cho $a,b,c$ là các số nguyên. Chứng tỏ rằng $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a+b+c \vdots 6$ 
Bài 4: Cho $n$ nguyên dương . Tìm $(n!+1,(n+1)!+1)$ 
Bài 5: Cho $a,b \in Z$ . Chứng minh : $(5a+3b,13a+8b)=(a,b)$ 
Chú ý : Một bài toán mở rộng hơn của câu $3$ 
Cho $a_i \in Z$ với $i=1,2,..,n$ . Chứng tỏ rằng $a_1^3+a_2^3+..+a_n^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a_1+a_2+..+a_n \vdots 6$ 
 



#4 meomunsociu

meomunsociu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-01-2016 - 23:21

Ta đi đến với các bài tập đơn giản như sau : 
Bài 1: Cho $a \in Z$. Tìm $(2a+3,3a+4)$
Bài 2: Chứng minh với mọi số nguyên $n$ thì ta có $n^3+5n$ chia hết cho $6$
Bài 3 : Cho $a,b,c$ là các số nguyên. Chứng tỏ rằng $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a+b+c \vdots 6$ 
Bài 4: Cho $n$ nguyên dương . Tìm $(n!+1,(n+1)!+1)$ 
Bài 5: Cho $a,b \in Z$ . Chứng minh : $(5a+3b,13a+8b)=(a,b)$ 
Chú ý : Một bài toán mở rộng hơn của câu $3$ 
Cho $a_i \in Z$ với $i=1,2,..,n$ . Chứng tỏ rằng $a_1^3+a_2^3+..+a_n^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a_1+a_2+..+a_n \vdots 6$ 
 

Bài 2: Ta có: $n^3+5n=n^2-n+6n=n(n-1)(n+1)+6n\vdots 6$

Vì n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $\vdots 6 \Rightarrow n^3-n\vdots 6$ => ĐPCM

Bài 3: Ta có: $a^3+b^3+c^3-a-b-c=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)$ 

Lập luận tương tự bài 2 => ĐPCM



#5 meomunsociu

meomunsociu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-01-2016 - 23:26

Ta đi đến với các bài tập đơn giản như sau : 
Bài 1: Cho $a \in Z$. Tìm $(2a+3,3a+4)$
Bài 2: Chứng minh với mọi số nguyên $n$ thì ta có $n^3+5n$ chia hết cho $6$
Bài 3 : Cho $a,b,c$ là các số nguyên. Chứng tỏ rằng $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a+b+c \vdots 6$ 
Bài 4: Cho $n$ nguyên dương . Tìm $(n!+1,(n+1)!+1)$ 
Bài 5: Cho $a,b \in Z$ . Chứng minh : $(5a+3b,13a+8b)=(a,b)$ 
Chú ý : Một bài toán mở rộng hơn của câu $3$ 
Cho $a_i \in Z$ với $i=1,2,..,n$ . Chứng tỏ rằng $a_1^3+a_2^3+..+a_n^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a_1+a_2+..+a_n \vdots 6$ 
 

Bài 1:  Gọi d=(2a+3, 3a+4). Ta có: $\left\{\begin{matrix} 2a+3\vdots d & \\ 3a+4\vdots d & \end{matrix}\right.$

Mà 3(2a+3)-2(3a+4)=1 nên $1\vdots d$ $\Rightarrow d=1$ 

Vậy (2a+3,3a+4)=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 01-01-2016 - 23:27


#6 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 02-01-2016 - 09:33

Cám ơn bạn đã đóng góp lời giải cho TOPIC ,mình xin sửa các bài còn lại : 
Bài 4: Gọi $d=(n!+1,(n+1)!+1)$ 
Ta có $n!+1 \vdots d \rightarrow (n+1)!+n+1 \vdots d$ 
Mà $(n+1)!+1 \vdots d \rightarrow n \vdots d$ 
$\rightarrow 1 \vdots d$ 
$\rightarrow d=1$ 
Bài 5 : Đặt $d'=(5a+3b,13a+8b),d=(a,b)$ 
Ta có $(5a+3b).8-(13+8b).3=a \vdots d'$ 
$5.(13a+8b)-13.(5a+3b)=b \vdots d'$ 
Mà $d=(5a+3b,13a+8b)$ suy ra $d \vdots d'$
Ta có $a \vdots d' ,b \vdots d'$ suy ra $5a+3b,13a+8b \vdots d$ 
Nên $d' vdots d$ 
Suy ra $d=d'$ (đpcm)



#7 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 02-01-2016 - 09:43

Ta đến với các bài toán tiếp theo : 
Bài 6 : Giả sử $(a,n)=p$ và $(b,n)=q$. Chứng minh rằng $(ab,n)=(pq,n) 
Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta luôn có : $A=2005^n+60^n-1897^n-168^n$ chia hết cho $2004$
Bài 8 : Chứng minh rằng với mọi bộ ba số lẻ $a,b,c$ ta luôn có : 
$(\frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2}.\frac{a+c}{2})=(a,b,c)$ 

Bài 9 : Cho $n$ là số nguyên dương . Tính bội chung nhỏ nhất của các số $n,n+1,n+2$ 
Bài 10: Cho $m,n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm $(m+n,m^2+n^2)$ 
Bài 11 : Chứng minh rằng : 
a) $m^3+3m^2-m-3$ chia hết cho $48$ với $m$ lẻ 
b) $4n^3-6n^2+3n+37$ không chia hết cho $125$ với mọi $n \in N$ 
Bài 12 : Cho $a,b \in N$ chứng minh rằng $5a^2+15ab-b^2 \vdots 49 \leftrightarrow 3a+b \vdots 7$ 
Bài 13 : Tìm số tự nhiên $n,k$ lớn nhất sao cho : 
a) $29^n$ là ước của $2003!$ (kí hiệu $n!=n.(n-1).(n-2)...2.1$ 
b) $(1994!)^{1995} \vdots 1995^k$ 
 



#8 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 02-01-2016 - 10:05

Ta đến với các bài toán tiếp theo : 
Bài 6 : Giả sử $(a,n)=p$ và $(b,n)=q$. Chứng minh rằng $(ab,n)=(pq,n) 
Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta luôn có : $A=2005^n+60^n-1897^n-168^n$ chia hết cho $2004$

Ta có $2005^{n}-1897^{n}\vdots (2005-1897)=108\vdots 12;60^{n}\vdots 12;-168^{n}\vdots 12\Rightarrow A\vdots 12$

$\left\{\begin{matrix} 2005^{n}-168^{n} \vdots (2005-168)=1837\vdots 167& \\ 60^{n}-1897^{n}\vdots (1897-60) =1837\vdots 167& \end{matrix}\right.\Rightarrow A\vdots 167$

Mà $(167;12)=1$ suy ra $A$ chia hết cho $167.12=2004$



#9 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 02-01-2016 - 10:08

Bài 9 : Cho $n$ là số nguyên dương . Tính bội chung nhỏ nhất của các số $n,n+1,n+2$ 

Sử dụng tính chất $[a,b,c]=[[a,b],c]$.
Nếu 3 số đó có dạng $2k+1$, $2k+2$, $2k+3$, $k\in N$ thì bội chung nhỏ nhất là $2(k+1)(2k+1)(2k+3)$
Nếu 3 số đó có dạng $2m$, $2m+1$, $2m+2$, $k\in N$ thì bội chung nhỏ nhất là $2m(m+1)(2m+1)$



#10 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 02-01-2016 - 10:21

Bài 11 : Chứng minh rằng : 
a) $m^3+3m^2-m-3$ chia hết cho $48$ với $m$ lẻ 
b) $4n^3-6n^2+3n+37$ không chia hết cho $125$ với mọi $n \in N$ 

a)$m^3+3m^2-m-3= (m-1)(m+1)(m+3)$

Vì $m$ lẻ nên $m-1;m+1;m+3$ là số nguyên dương lẻ liên tiếp suy ra $(m-1)(m+1)(m+3)\vdots 16$

và tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $3$

Mà $(16,3)=1$ nên ta có đpcm

b)Giả sử $4n^3-6n^2+3n+37\vdots 125\Rightarrow 2(4n^3-6n^2+3n+37)\vdots 5\Leftrightarrow (2n-1)^{3}+75\vdots 5\Leftrightarrow (2n-1)^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 2n-1\vdots 5\Leftrightarrow (2n-1)^{3}\vdots 125\Leftrightarrow (2n-1)^{3}+75$

không chia hết cho $125$ suy ra $2(4n^3-6n^2+3n+37)$ không chia hết cho $125$ suy ra $(4n^3-6n^2+3n+37)$  không chia hết cho $125$(mâu thuẫn)

Ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhtuoanh: 02-01-2016 - 10:21


#11 PhanLocSon

PhanLocSon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Học và Chơi

Đã gửi 02-01-2016 - 10:24

Bài 8 : Chứng minh rằng với mọi bộ ba số lẻ $a,b,c$ ta luôn có : 
$(\frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2}.\frac{a+c}{2})=(a,b,c)$ 

 

Gọi $d=(\frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2},\frac{c+a}{2})$
Ta có $\left\{\begin{matrix} \frac{c+a}{2}\vdots d & & \\ \frac{a+b}{2}\vdots d & & \\ \frac{b+c}{2}\vdots d & & \\ \end{matrix}\right.$
Suy ra $\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}-\frac{c+a}{2} \vdots d$
Hay $b \vdots d$
Tương tự suy ra $a \vdots d,c \vdots d$
Suy ra đpcm


Cuộc đời vốn không công bằng, vì thế hãy tự làm quen với nó.(nói thế thôi)


#12 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 02-01-2016 - 10:38

Bài 12 : Cho $a,b \in N$ chứng minh rằng $5a^2+15ab-b^2 \vdots 49 \leftrightarrow 3a+b \vdots 7$ 

$5a^2+15ab-b^2 \vdots 49\Rightarrow 5a^2+15ab-b^2 \vdots 7\Leftrightarrow 5a^2+7a^2+ab+14ab-b^2\vdots 7\Leftrightarrow 12a^{2}+ab-b^2\vdots 7\Leftrightarrow (4a-b)(3a+b)\vdots 7\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 4a-b\vdots 7 & \\ 3a+b\vdots 7\rightarrow đpcm & \end{bmatrix}$

$3a+b\vdots 7\Rightarrow 7a-(3a+b)\vdots 7\Leftrightarrow 4a-b\vdots 7\Leftrightarrow (4a-b)-(3a+b)\vdots 7\Leftrightarrow a-2b\vdots 7\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (3a+b)^{2}\vdots 49 & \\ (4a-b)(a-2b)\vdots 49 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (3a+b)^{2}-(4a-b)(a-2b)\vdots 49\Leftrightarrow 5a^{2}+15ab-b^{2}\vdots 49\rightarrow đpcm$



#13 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 02-01-2016 - 10:49

 Bài 10: Cho $m,n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm $(m+n,m^2+n^2)$ 

Gọi $d=(m+n,m^{2}+n^{2})$

Dễ thấy lúc này $2mn\vdots d$

Dễ thấy (2,m,n)=1 nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1: $2\vdots d$ $\Leftrightarrow d=1 \wedge d=2$

Trường hợp 2: $m\vdots d$ thì do $m+n\vdots d$ nên $n\vdots d$ nên d=1

Trường hợp 3: $n\vdots d$ thì tương tự như trường hợp 2 nên d=1

Vậy $(m+n,m^{2}+n^{2})=1$ hoặc $(m+n,m^{2}+n^{2})=2$


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#14 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 02-01-2016 - 11:12

Bài 13 : Tìm số tự nhiên $n,k$ lớn nhất sao cho : 
a) $29^n$ là ước của $2003!$ (kí hiệu $n!=n.(n-1).(n-2)...2.1$ 
b) $(1994!)^{1995} \vdots 1995^k$ 
 

a)Các số chia hết cho $29$ trong khoảng từ $1-2003$ là $29.1;29.2;...;29.69$

$\Rightarrow 2003!=29^{69}.69.A((A,29)=1)$

Các số chia hết cho $29$ trong khoảng từ $1-69$ là $29.1;29.2$

$\Rightarrow 69!=29^2.2!.B((B,29)=1)\Rightarrow 2003!=29^{71}.2.A.B \Rightarrow n=71$

b)Phân tích  $1995^k$  ra thừa số nguyên tố:

                       $1995^k=3^k.5^k.7^k.19^k$

Số mũ lớn nhất của 19 là:

     $\left \lfloor \frac{1994}{19^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{1994}{19^2}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{1994}{19^3} \right \rfloor=109$

Tương tự , số mũ lớn nhất của $7,5,3$ lần lượt là $329, 495,992$

Do đó  $1994!=3^{992}.5^{495}.7^{329}.19^{109}.P$  ( trong đó $P$ không chứa các thừa số nguyên tố $3,5,7,19$)

$\Rightarrow (1994!)^{1995}=(3^{992}.5^{495}.7^{329}.19^{109}.P)^{1995}=1995^{109.1995}.(3^{883}.5^{386}.7^{220}.P)^{1995}$

Từ đó  $(1994!)^{1995}\vdots 1995^k\Leftrightarrow 1995^{109.1995}\vdots 1995^k\Rightarrow k\leq 109.1995=217455$

     Vậy  $k$ lớn nhất là  $217455$



#15 PhanLocSon

PhanLocSon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Học và Chơi

Đã gửi 02-01-2016 - 11:17

 Bài 13 : Tìm số tự nhiên $n,k$ lớn nhất sao cho : 
a) $29^n$ là ước của $2003!$ (kí hiệu $n!=n.(n-1).(n-2)...2.1$ 
b) $(1994!)^{1995} \vdots 1995^k$ 
 

Vì 29 nguyên tố
Ta sẽ tìm số bội của 29 trong $2003!$
Có 
$[\frac{2003}{29}]=69$ bội
Trong đó có $[\frac{69}{29}]=2$ số là bội của $29^2$
Suy ra $n=67.1+2.2=71$


Cuộc đời vốn không công bằng, vì thế hãy tự làm quen với nó.(nói thế thôi)


#16 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 02-01-2016 - 11:19

Gọi $d=(m+n,m^{2}+n^{2})$

Dễ thấy lúc này $2mn\vdots d$

Dễ thấy (2,m,n)=1 nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1: $2\vdots d$ $\Leftrightarrow d=1 \wedge d=2$

Trường hợp 2: $m\vdots d$ thì do $m+n\vdots d$ nên $n\vdots d$ nên d=1

Trường hợp 3: $n\vdots d$ thì tương tự như trường hợp 2 nên d=1

Vậy $(m+n,m^{2}+n^{2})=1$ hoặc $(m+n,m^{2}+n^{2})=2$

Mình xin  đóng góp lời giải khác : 
Đặt $m^2+n^2=A,m+n=B$ và $(A,B)=d$ 
Ta có $A^2-B^2=2mn \vdots d$ 
Vì $A \vdots d$  nên $2nA \vdots d \rightarrow 2n^2 \vdots d$ 
Tương tự ta cũng có $2m^2 \vdots d$ 
Mà $(m,n)=1$ nên ta xét $2$ TH : 
TH1:  $m,n$ khác tính chẵn lẻ thì $d$ lẻ . Suy ra $m^2,n^2 \vdots d$ mà $(m,n)=1$ . Suy ra $d=1$ 
TH2: $m,n$ cùng lẻ thì $d$ chẵn. Đặt $d=2k$ suy ra $m^2,n^2 \vdots k$ tương tự TH1 suy ra $k=1$ hay $d=2$
 



#17 PhanLocSon

PhanLocSon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Học và Chơi

Đã gửi 02-01-2016 - 11:32

a)Các số chia hết cho $29$ trong khoảng từ $1-2003$ là $29.1;29.2;...;29.69$

$\Rightarrow 2003!=29^{69}.69.A((A,29)=1)$

Các số chia hết cho $29$ trong khoảng từ $1-69$ là $29.1;29.2$

$\Rightarrow 69!=29^2.2!.B((B,29)=1)\Rightarrow 2003!=29^{71}.2.A.B \Rightarrow n=71$

b)Phân tích  $1995^k$  ra thừa số nguyên tố:

                       $1995^k=3^k.5^k.7^k.19^k$

Số mũ lớn nhất của 19 là:

     $\left \lfloor \frac{1994}{19^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{1994}{19^2}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{1994}{19^3} \right \rfloor=109$

Tương tự , số mũ lớn nhất của $7,5,3$ lần lượt là $329, 495,992$

Do đó  $1994!=3^{992}.5^{495}.7^{329}.19^{109}.P$  ( trong đó $P$ không chứa các thừa số nguyên tố $3,5,7,19$)

$\Rightarrow (1994!)^{1995}=(3^{992}.5^{495}.7^{329}.19^{109}.P)^{1995}=1995^{109.1995}.(3^{883}.5^{386}.7^{220}.P)^{1995}$

Từ đó  $(1994!)^{1995}\vdots 1995^k\Leftrightarrow 1995^{109.1995}\vdots 1995^k\Rightarrow k\leq 109.1995=217455$

     Vậy  $k$ lớn nhất là  $217455$

k biết đúng k nhưng theo mình thì k là số nhỏ nhất trong cách số mũ lớn nhất của 3,5,7,19 (là 109)


Cuộc đời vốn không công bằng, vì thế hãy tự làm quen với nó.(nói thế thôi)


#18 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 02-01-2016 - 11:36

Tớ giải luôn bài $6$ 
$(a,n)=p$ nên $a=pa_1,n=pn_1$ với $(a_1,n_1)=1$ Suy ra 
$(ab,n)=(pa_1b,pn_1)=p(a_1b,n_1)=p(b,n_1)=(pb,n)$  
$(b,n)=q$ đặt $b=q.b_1,q=n_2.q$ với $(b_1,n_1)=1$ suy ra : 
$(pb,n)=(pqb_1,qn_2)=q(pb_1,n_2)=q(p,n_2)=(pq,n)$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 02-01-2016 - 11:36


#19 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 490 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 02-01-2016 - 11:44

Mình xin góp một bài

Tìm tất cả các số tự nhiên $ n>1 $ sao cho $ (n-1)! $ chia hết cho $ n $



#20 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 02-01-2016 - 11:51

Tiếp tục nào  :wub: : 
Bài 14: Chứng minh rằng : 
a) $n^{12}-n^8-n^4+1 \vdots 512$ với $n$ lẻ 
b) $n^4-14n^3+71n^2-154n+120 \vdots 24$ 
c) $n^2+n+2$ không chia hết cho $15$ 
d) $9n^3+9n^2+3n-16$ không chia hết cho $343$  
e) $11^{n+2}+12^{2n+1} \vdots 133$ 
f) $5^{2n-1}.2^{n+1}+3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38$ 
Bài 15 : Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $a^2+b^2 \vdots ab$ . Tính $\frac{a^2+b^2}{ab}$ 
Bài 16 : Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta có : 
$[1,2,...,2n]=[n+1,n+2,..,n+n]$ 
Bài 17 : Cho $A=1^k+2^k+...+n^k$ với $n \ge,n \in N^{*}$ và $k$ lẻ . $B=1+2+...+n$ . Chứng minh $\frac{A}{B} \in Z$ 
Bài 18 : Tìm $n$ nguyên dương sao cho $(n-1)! \vdots n$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh