Đến nội dung

Hình ảnh

CM $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} \geq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ với x,y>


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

CM $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ với x,y>=0, xy<=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 02-01-2016 - 17:46


#2
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

CM $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ với x,y>=0, xy<=1

Ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{2}\leq \frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}=1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+y^{2})(1+x^{2})}\leq 1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+yx)^{2}}=\frac{2}{1+yx}$

$\Rightarrow$ đpcm


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3
ngochapid

ngochapid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{2}\leq \frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}=1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+y^{2})(1+x^{2})}\leq 1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+yx)^{2}}=\frac{2}{1+yx}$

$\Rightarrow$ đpcm

Anh ơi, từ đâu để nghĩ ra (những) ý tưởng này ạ? Nên xuất phát từ đâu há anh? :( 



#4
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Anh ơi, từ đâu để nghĩ ra (những) ý tưởng này ạ? Nên xuất phát từ đâu há anh? :(

Thực ra bài này còn có một cách nữa là biến đổi tương đương nhưng nhận thấy dấu hiệu của Cauchy-Schwarz nên anh đã thử làm theo hướng này. Thật bất ngờ là cách làm này lại có hiệu quả đến như vậy, cách này nhanh hơn rất nhiều so với việc biến đổi tương đương


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh