Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số.
Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số.
Bài toán tổng quát:Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{p}$($p$ là số nguyên tố). Chứng minh rằng $m, n$ đều có dạng $m=x^p;n=y^p$ ($x,y$ là các số nguyên dương)
Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số.
Spoiler
Giải
Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$
$=> k^3 = p_1^{3a_1}.p_2^{3a_2}...p_n^{3a_n} $
Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$
Ta có $m.n \vdots p^{3}$
Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3 \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )
Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên
Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 03-01-2016 - 10:39
Giải
Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$
$=> k^3 = p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n} $
Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$
Ta có $m.n \vdots p^{3}$
Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3 \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )
Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên
Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát
Chỗ màu xanh có vấn đề về số mũ!
Giải
Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$
$=> k^3 = p_1^{3a_1}.p_2^{3a_2}...p_n^{3a_n} $
Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$
Ta có $m.n \vdots p^{3}$
Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3 \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )
Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên
Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát
Đoạn màu đỏ bạn làm thế nào để chứng minh là lập phương của số tự nhiên được,bạn phải chứng minh được $p^3 \vdots m$ và $p^3 \vdots n$ thì mới suy ra được lập phương của số tự nhiên chứ.Lập luận của bạn quá là mơ hồ đi !!
Bài toán tổng quát:Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{p}$($p$ là số nguyên tố). Chứng minh rằng $m, n$ đều có dạng $m=x^p;n=y^p$ ($x,y$ là các số nguyên dương)
Giả sử $(m,k)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix}m=d.m' & & \\ k=d.k' & & \end{matrix}\right.\Rightarrow d.m'.n=d^p.k'^p\Rightarrow m'.n=d^{p-1}.k'^p$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 03-01-2016 - 18:53
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Đoạn màu đỏ bạn làm thế nào để chứng minh là lập phương của số tự nhiên được,bạn phải chứng minh được $p^3 \vdots m$ và $p^3 \vdots n$ thì mới suy ra được lập phương của số tự nhiên chứ.Lập luận của bạn quá là mơ hồ đi !!
Tất cả các ước của $m,n$ đều có dạng $p^3$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh