Cho dãy $Fibonaci$ với $U_{1}=0;U_{2}=1;U_{n+2}=U_{n+1}+U{n}$
Chứng minh $S=\sum_{i=1}^{n}\frac{U_{i}}{x^i} = (x-1)x-1$
Với n tiến đến vô cùng,$x \geq 2$, $x$ là số tự nhiên.
Đặc biệt,với $x=2;3;8;10;...$,ta có $S$ lần lượt bằng$U_{3};U_{6};U_{11};U_{12};...$
Dãy Fibonacci thì có $U_1=1$ chứ sao lại bằng $0$
Chẳng thấy nó đặc biệt chỗ nào cả
Ta đặt $S_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{U_i}{x_i}$
Khi đó: $S_{n+1}-S_n=\frac{U_{n+1}}{x^{n+1}} $
Chứng minh được: $U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $(S_{n+1}-S_n)\sqrt{5}=\frac{a^n-b^n}{x^{n+1}}$
$<=>S_{n+1}\sqrt{5}-\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}+\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}$
$=S_n\sqrt{5}-\frac{a^n}{x^n(a-x)}+\frac{b^n}{x^n(b-x)}=...=S_1\sqrt{5}-\frac{a}{x(a-x)}+\frac{b}{x(b-x)}=\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$
Do đó:
$S_{n+1}\sqrt{5}=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$
$=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{\sqrt{5}}{x^2-x-1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 03-01-2016 - 18:31