Đến nội dung

Hình ảnh

$S=\sum_{i=1}^{n}\frac{U_{i}}{x^i} = \frac{1}{(x-1)x-1}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Le Dinh Hai

Le Dinh Hai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Cho dãy $Fibonaci$ với $U_{1}=0;U_{2}=1;U_{n+2}=U_{n+1}+U{n}$

Chứng minh $S=\sum_{i=1}^{n}\frac{U_{i}}{x^i} = \frac{1}{(x-1)x-1}$

Với n tiến đến vô cùng,$x \geq 2$, $x$ là số tự nhiên.

Đặc biệt,với $x=2;3;8;10;...$,ta có $S$ lần lượt bằng$\frac{1}U_{3};\frac{1}{U_{6}};\frac{1}{U_{11}};\frac{1}{U_{12}};...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 03-01-2016 - 15:36

Redragon


#2
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Cho dãy $Fibonaci$ với $U_{1}=0;U_{2}=1;U_{n+2}=U_{n+1}+U{n}$

Chứng minh $S=\sum_{i=1}^{n}\frac{U_{i}}{x^i} = (x-1)x-1$

Với n tiến đến vô cùng,$x \geq 2$, $x$ là số tự nhiên.

Đặc biệt,với $x=2;3;8;10;...$,ta có $S$ lần lượt bằng$U_{3};U_{6};U_{11};U_{12};...$

Dãy Fibonacci thì có $U_1=1$ chứ sao lại bằng $0$ 

Chẳng thấy nó đặc biệt chỗ nào cả :D

Ta đặt $S_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{U_i}{x_i}$

Khi đó: $S_{n+1}-S_n=\frac{U_{n+1}}{x^{n+1}} $

Chứng minh được: $U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Khi đó $(S_{n+1}-S_n)\sqrt{5}=\frac{a^n-b^n}{x^{n+1}}$

$<=>S_{n+1}\sqrt{5}-\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}+\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}$

$=S_n\sqrt{5}-\frac{a^n}{x^n(a-x)}+\frac{b^n}{x^n(b-x)}=...=S_1\sqrt{5}-\frac{a}{x(a-x)}+\frac{b}{x(b-x)}=\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

Do đó: 

$S_{n+1}\sqrt{5}=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

$=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{\sqrt{5}}{x^2-x-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 03-01-2016 - 18:31

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#3
Le Dinh Hai

Le Dinh Hai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Dãy Fibonacci thì có $U_1=1$ chứ sao lại bằng $0$ 

Chẳng thấy nó đặc biệt chỗ nào cả :D

Ta đặt $S_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{U_i}{x_i}$

Khi đó: $S_{n+1}-S_n=\frac{U_{n+1}}{x^{n+1}} $

Chứng minh được: $U_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$

Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Khi đó $(S_{n+1}-S_n)\sqrt{5}=\frac{a^n-b^n}{x^{n+1}}$

$<=>S_{n+1}\sqrt{5}-\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}+\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}$

$=S_n\sqrt{5}-\frac{a^n}{x^n(a-x)}+\frac{b^n}{x^n(b-x)}=...=S_1\sqrt{5}-\frac{a}{x(a-x)}+\frac{b}{x(b-x)}=\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

Do đó: 

$S_{n+1}\sqrt{5}=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

Giờ lấy lim cái này @@

Để ý một tí thì chúng ta sẽ thấy nếu $x$ cực kì lớn hay $x\rightarrow \infty $ thì $S\rightarrow 0$

Vậy đề sai :(

$S=\frac{1}{(x-1)x-1}$ không phải $S=(x-1)x-1$ nên tất nhiên nếu $x$ cực kì lớn thì $S\rightarrow 0$


Redragon


#4
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

$S=\frac{1}{(x-1)x-1}$ không phải $S=(x-1)x-1$ nên tất nhiên nếu $x$ cực kì lớn thì $S\rightarrow 0$

$S_{n+1}\sqrt{5}=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{b}{x(b-x)}-\frac{a}{x(a-x)}$

$=\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)}+\frac{\sqrt{5}}{x^2-x-1}$

Chỉ cần chứng minh:

$lim(\frac{a^{n+1}}{x^{n+1}(a-x)}-\frac{b^{n+1}}{x^{n+1}(b-x)})=0$

Phần này đơn giản, vì $|a|<x$ và $|b|< x$ nên dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

Vậy $limS=\frac{1}{x^2-x-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 03-01-2016 - 22:12

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh