Chủ đề này có 47 trả lời

[Longtunhientoan2k]

 TOPIC ôn thi Olimpic 30/04 và thi HSG toán 10

 Chỉ còn vài tháng nữa là các bạn sẽ bước vào kì thi olimpic 30/04 hay kì thi HSG toán 10(với cả các trường chuyên và không chuyên).Mình lập ra TOPIC này nhằm thảo luận về các dạng toán trong kì thi OLP 30/04 và HSG toán 10 sắp tới mong được ủng hộ nhiệt tình.Nội dung thảo luận gồm có:

•  1,Số học
•  2,Dãy số
•  3,Phương trình,bất phương trình,hệ phương trình
•  4,Bất đẳng thức
•  5,Hình học phẳng,hình học Oxy
•  6,Phương trình hàm
•  7,Đa thức
•  8,Toán rời rạc​

  Trong thời gian đầu tiên các bạn nên đưa bài tập theo chủ đề(có chú thích ở bên cạnh).Ví dụ:Bài 1(Đại số).Nếu như trường bạn nào đã thi rồi hay có một đề thi hay muốn chia sẻ thì up lên nhưng để tránh loãng cho TOPIC thì các bạn nên giải quyết hết một vấn đề thì mới đăng các vấn đề khác lên.Khi trả lời với những bài tập khó cần ghi rõ bạn phân tích như thế nào và tư duy ra sao để có thể đưa ra được lời giải đó,tránh việc chỉ vào bình luận một hai câu cũng gây loãng TOPIC.Khi có một thành viên chưa hiểu chỗ nào đó trong bài viết cũng cần viết rõ ràng và giải thích một cách tường minh để hiểu.Để TOPIC hiệu quả mong các bạn thực hiện đúng các yêu cầu và lời khuyên nêu ở trên.Cuối cùng mong các bác như ĐINH XUÂN HUNG hay HOANGLONG2K và các anh chị khối trên cùng vào và đưa lên những bài toán hay ,các lời giải đẹp,các lập luận và phân tích cụ thể để TOPIC thực sự bổ ích với các bạn học sinh ham mê môn toán.

 Mở đầu cho TOPIC hãy thử sức với bài toán sau:

   Bài toán(HONGKONG TST ROUND 2-BẤT ĐẲNG THỨC)

    Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longtunhientoan2k: 03-01-2016 - 13:14

[NTA1907]

 Bài toán(HONGKONG TST ROUND 2-BẤT ĐẲNG THỨC)

    Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}$ 

Ta có:

$\sum \frac{a^{3}+8}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{1}{b+c}+\sum \frac{8}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\sum \frac{8(bc)^{2}}{a(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{8(bc+ca+ab)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\sqrt{3abc(a+b+c)}+3.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}+\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}+9\geq 3\sqrt[3]{\frac{27}{8}}+9=\frac{27}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

[Quoc Tuan Qbdh]

 

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$M=\sum \frac{a^{3}+8}{a^{3}(b+c)}$

Mạng lag nên mình không trích dẫn được bài viết 

Đặt $(x;y;z)->(ab;bc;ca)$ khi đó $xyz=1$

Ta có :
$M=\sum \frac{a^{3}+1+1+6}{a^{3}(b+c)} \geq \sum (\frac{3a}{a^{3}(b+c)}+\frac{6}{a^{3}(b+c)})(AM-GM)$

$=\sum(\frac{3a^{2}bc}{a^{3}(b+c)}+\frac{6a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{3}(b+c)})=\sum(\frac{3bc}{ab+ac}+\frac{6b^{2}c^{2}}{ab+ac})=6\sum \frac{y^{2}}{x+z}+3\sum \frac{y}{x+z}$

$ \geq 6\frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}+3.\frac{3}{2}$ ( Sử dụng bất đẳng $C-S$ và $Nesbit$ )

$=3(x+y+z)+\frac{9}{2} \geq 3.3\sqrt[3]{xyz}+\frac{9}{2}=\frac{27}{2}(AM-GM)$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$
Mở rộng bài toán. Chứng minh tương tự . Không cần đăng lời giải

 

Cho $a;b;c$ dương thoả mãn $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$A=\sum \frac{a^{3}+k}{a^{3}(b+c)}$ $(k \geq 2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 03-01-2016 - 14:08

[haichau0401]

Nhiệt liệt ủng hộ topic này luôn, chúc topic phát triển và đóng góp nhiều bài tập hay 

Bài 2: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn đk: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 4$. CM:

$\sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{b^{3} + c^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{c^{3} + d^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{d^{3} + a^{3}}{2}} \leq 2(a + b + c + d) - 4$

Bài 3: CMR nếu a,b,c>0 thì: 

$\frac{(a + b + c)^{2}}{ab + bc + ca} \geq \frac{a + b}{a + c} + \frac{b + c}{b + a} + \frac{c + a}{c + b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-01-2016 - 21:04

[chardhdmovies]

Nhiệt liệt ủng hộ topic này luôn, chúc topic phát triển và đóng góp nhiều bài tập hay 

Bài 2: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn đk: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 4$. CM:

$\sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{b^{3} + c^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{c^{3} + d^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{d^{3} + a^{3}}{2}} \leq 2(a + b + c + d) - 4$

Bài 3: CMR nếu a,b,c>0 thì: 

$\frac{(a + b + c)^{2}}{ab + bc + ca} \geq \frac{a + b}{a + c} + \frac{b + c}{b + a} + \frac{c + a}{c + b}$

3. Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Ta biến đổi BĐT như sau:

$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3\geq (\frac{a+b}{a+c}-1)+(\frac{b+c}{b+a}-1)+(\frac{c+a}{c+b}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}\geq \frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{b+a}+\frac{a-b}{c+b}$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-c)(b-c)}{ab+bc+ca}\geq\frac{(a-c)(b-c)+b^2-a^2}{(a+c)(a+b)}+\frac{a-b}{b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-c)(b-c)}{ab+bc+ca}\geq\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(a+b)}+\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$

$\Leftrightarrow \frac{c^{2}(a-b)^2}{(ab+bc+ca)(a+c)(b+c)}+\frac{a^2(a-c)(b-c)}{(ab+bc+ca)(a+c)(a+b)}\geq0$
BĐT cuối cùng luôn đúng do $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[Longtunhientoan2k]

 Xin được POST lại đáp án các câu HONGKONG TST ROUND 2016 và câu 3(của bạn haichau0401) như sau:

      1.HONG KONG TST 2016 ROUND 2

 Ta có:$\sum \frac{a^{3}+8}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{1}{b+c}+\sum \frac{8}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\sum \frac{8(bc)^{2}}{a(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$

 +$\frac{8(bc+ca+ab)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{9}{2(a+b+c)}+(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)\geq \frac{9}{2(a+b+c)}+\sqrt{3abc(a+b+c)}+3.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}+\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}+9\geq 3\sqrt[3]{\frac{27}{8}}+9=\frac{27}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

 Bạn cũng có thể tham khảo thêm cách của

Quoc Tuan Qbdh và bài toán mở rộng 

     Câu 3(haichau0401):Giả sử 

$c=min\left \{ a,b,c \right \}$

  Ta biến đổi BĐT như sau:

 

$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3\geq (\frac{a+b}{a+c}-1)+(\frac{b+c}{b+a}-1)+(\frac{c+a}{c+b}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}\geq \frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{b+a}+\frac{a-b}{c+b}$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-c)(b-c)}{ab+bc+ca}\geq\frac{(a-c)(b-c)+b^2-a^2}{(a+c)(a+b)}+\frac{a-b}{b+c}$

 

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-c)(b-c)}{ab+bc+ca}\geq\frac{(a-c)(b-c)}{(a+c)(a+b)}+\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$$\Leftrightarrow \frac{c^{2}(a-b)^2}{(ab+bc+ca)(a+c)(b+c)}+\frac{a^2(a-c)(b-c)}{(ab+bc+ca)(a+c)(a+b)}\geq0$

 

 Tới đây sử dụng giả thiết đã nêu,các bạn tự chứng minh công việc đơn giản còn lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longtunhientoan2k: 03-01-2016 - 18:35

[gianglqd]

BĐT nhiều rồi mình đăng PT nha

Bài 4: $2(x^{2}+x-1)^{2}+2x^{2}+2x=3+\sqrt{5+4x}$

Bài 5: $\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}= 2x^{2}+2x+2$

Bài 6: $8x^{2}+\sqrt{\frac{1}{x}}= \frac{5}{2}$

[anhquannbk]

BĐT nhiều rồi mình đăng PT nha

Bài 4: $2(x^{2}+x-1)^{2}+2x^{2}+2x=3+\sqrt{5+4x}$

Bài 5: $\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}= 2x^{2}+2x+2$

Bài 6: $8x^{2}+\sqrt{\frac{1}{x}}= \frac{5}{2}$

Bài 6:

$ 8x^{2}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{5}{2} $

ĐK: $ x>0 $

Áp dụng BĐT $ AM-GM $ ta có:

$ 8x^{2}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}= 8x^{2}+\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{x}}+ +\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{x}} \ge 5\sqrt[5]{8x^{2}.\dfrac{1}{x^{2}}.\dfrac{1}{4^{4}}}=\dfrac{5}{2} $

Dấu bằng xảy ra khi $ x=\dfrac{1}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 04-01-2016 - 21:15

[Longtunhientoan2k]

 CÁC BẠN CŨNG HÃY THỬ SỨC VỚI BÀI TOÁN NGÀY HÔM NAY:

         Bài 7:Giải bất phương trình:$\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longtunhientoan2k: 07-01-2016 - 18:33

[gianglqd]

Bài 8: $x^{3}+6x^{2}-171x-40(x+1)\sqrt{5x-1}+20=0$

Bài 9: $x^{3}-6x^{2}+12x-7=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$

[NTA1907]

 

Bài 9: $x^{3}-6x^{2}+12x-7=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$

ĐK: $-x^{3}+9x^{2}-19x+11\geq 0$

Pt$\Leftrightarrow x^{3}-6x^{2}+11x-6=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}-(x-1)$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=\frac{-x^{3}+9x^{2}-19x+11-x^{3}+3x^{2}-3x+1}{A^{2}+AB+B^{2}}$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)+\frac{2(x-1)(x-2)(x-3)}{A^{2}+AB+B^{2}}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)(1+\frac{2}{A^{2}+AB+B^{2}})=0$

Vì pt trong ngoặc luôn dương nên $x=1, x=2, x=3$(thoả mãn cả 3 nghiệm)

[gianglqd]

 

ĐK: $-x^{3}+9x^{2}-19x+11\geq 0$

Pt$\Leftrightarrow x^{3}-6x^{2}+11x-6=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}-(x-1)$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=\frac{-x^{3}+9x^{2}-19x+11-x^{3}+3x^{2}-3x+1}{A^{2}+AB+B^{2}}$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)+\frac{2(x-1)(x-2)(x-3)}{A^{2}+AB+B^{2}}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)(1+\frac{2}{A^{2}+AB+B^{2}})=0$

Vì pt trong ngoặc luôn dương nên $x=1, x=2, x=3$(thoả mãn cả 3 nghiệm)

 

Cách này ngắn hơn nè:

Đặt $y= \sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$

Suy ra được: $y^{3}+2y=(x-1)^{3}+2(x-1)$

....

[NTA1907]

BĐT nhiều rồi mình đăng PT nha

Bài 4: $2(x^{2}+x-1)^{2}+2x^{2}+2x=3+\sqrt{5+4x}$

ĐK: $x\geq \frac{-5}{4}$

Pt$\Leftrightarrow 2(x^{2}+x-1)^{2}+2(x^{2}+x-1)-4=\sqrt{5+4x}-3$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+x-1-1)(x^{2}+x-1+2)=\frac{4x-4}{\sqrt{5+4x}+3}$

$\Leftrightarrow 2(x-1)(x+2)(x^{2}+x+1)=\frac{4(x-1)}{\sqrt{5+4x}+3}$

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ (x+2)(x^{2}+x+1)-\frac{2}{\sqrt{5+4x}+3} \right ]=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $(x+2)(x^{2}+x+1)=\frac{2}{\sqrt{5+4x}+3}$

$VT\geq \frac{63}{64}, VP\leq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ Vô nghiệm

[Longtunhientoan2k]

 Hiện còn bài 5 và bài 7 chủ đề phương trình còn chưa có lời giải,mong các bạn sớm hoàn thiện

[minhthong29]

Bài 10 

File gửi kèm

•  k.bmp   104.87K   134 Số lần tải

[gianglqd]

Đánh lại bài 10: Cho $5\geq a\geq b\geq c\geq 0$, $a+b\leq 8$ và $a+b+c= 10$

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 38$

[minhthong29]

Đánh lại bài 10: Cho $5\geq a\geq b\geq c\geq 0$, $a+b\leq 8$ và $a+b+c= 10$

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 38$

làm sao để con có thể gõ latex trên này ạ :v 

[NTA1907]

Bài 5: $\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}= 2x^{2}+2x+2$

ĐK: $3x^{3}+2x^{2}+2\geq 0, -3x^{3}+x^{2}+2x-1\geq 0$

Áp dụng bđt Bu-nhi-a ta có:

$(2x^{2}+2x+2)^{2}=(\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1})^{2}\leq 2(3x^{2}+2x+1)$

$\Leftrightarrow 2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1\leq 0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+x)^{2}+(x+1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}+x=x+1=0\Leftrightarrow x=-1$(TM)

[gianglqd]

làm sao để con có thể gõ latex trên này ạ :v 

Bạn vào trang này để soạn CT: https://www.codecogs....php?lang=vi-vi

Sau đó copy vào và thêm vào ở đầu và cuối công thức 1 dấu $

[gianglqd]

Bài 11: $\begin{cases}& x^{2}(x-3)- y\sqrt{y+3}=-2\\ & 3\sqrt{x-2}=y\sqrt{y+8}\end{cases}$

Bài 12: $\begin{cases}& 3\sqrt{y^{3}(2x-y)}+\sqrt{x^{2}(5y^{2}-4x^{2})}= 4y^{2} \\ & \sqrt{2-x}+\sqrt{y+1}+2= x+y^{2} \end{cases}$

Bài 13: $\begin{cases}& (1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}= x+2y+3xy \\ & \sqrt{y+1}\sqrt{x^{2}+2y^{2}}= 2y-x\end{cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 07-01-2016 - 07:38