Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{4}{3(z+1)^3}$

Có thể áp dụng bổ đề NÀY

[quanganhthanhhoa]

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{4}{3(z+1)^3}$

Có thể áp dụng bổ đề NÀY

Giả sử $z=max(x,y,z)\Rightarrow z\geq 1$ 

Áp dụng bổ đề trên kết hợp vs bất đẳng thức C-S ta có $P\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{z}{z+1}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{3z(z+1)^{2}+4}{3(z+1)^3}=\frac{3z^{3}+6z^2+3z+4}{3z^{3}+9z^2+9z+3}=1-\frac{z(z+1)}{(z+1)^{3}}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}=1-\frac{z}{(z+1)^{2}}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}\geq 1-\frac{z}{4z}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}\geq \frac{3}{4}-\frac{2}{3.2^{3}}=\frac{2}{3}$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

[Truong Gia Bao]

Giả sử $z=max(x,y,z)\Rightarrow z\geq 1$ 

Áp dụng bổ đề trên kết hợp vs bất đẳng thức C-S ta có $P\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{z}{z+1}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{3z(z+1)^{2}+4}{3(z+1)^3}=\frac{3z^{3}+6z^2+3z+4}{3z^{3}+9z^2+9z+3}=1-\frac{z(z+1)}{(z+1)^{3}}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}=1-\frac{z}{(z+1)^{2}}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}\geq 1-\frac{z}{4z}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}\geq \frac{3}{4}-\frac{2}{3.2^{3}}=\frac{2}{3}$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

Mình tưởng khi $x,y,z$ có vai trò như nhau thì mới giả sử $z=max(x,y,z)$ được chứ nhỉ???

Xem cách này của mình thế nào nhé!

Dễ suy ra: $P \geq  \frac{z}{z+1}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{2}{3} - \frac{1}{z+1} + \frac{4}{3(z+1)^3}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{6} \geq \frac{2}{3} - \frac{1}{z+1} + 3 \sqrt[3]{ \frac{4}{3(z+1)^3}. \frac{1}{6}. \frac{1}{6}}=\frac{2}{3}$