Giả sử $b=max(a,b,c)$
Bất đẳng thức tương đương $\sqrt{a^{2}+b^{2}+bc+ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}+ac+bc}+\sqrt{c^{2}+a^{2}+ab+ac}\geq 2$
*$\sqrt{b^{2}+c^{2}+ac+bc}+\sqrt{c^{2}+a^{2}+ab+ac}\geq \sqrt{b^{2}+c^{2}+bc+ab}+\sqrt{a^{2}+c^{2}+2ac}$
$\Leftrightarrow (b^{2}+c^{2}+ac+bc)(c^{2}+a^{2}+ab+ac)\geq (b^{2}+c^{2}+ab+bc)(a^{2}+c^{2}+2ac)$
$\Leftrightarrow a(b-a)(b-c)\geq 0$(đúng theo giả sử)
Ta cần chứng minh $ \sqrt{a^{2}+b^{2}+bc+ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc+ab}+\sqrt{a^{2}+c^{2}+2ac}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{b+a^{2}}+\sqrt{b+c^{2}}\geq a+2b+c$
$\Leftrightarrow a^{2}b+ac^{2}\geq 2abc$(luôn đúng)
Đẳng thức tại $a=b=c=\frac{1}{3}$