Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

chứng minh $\sqrt{a^{2}+b}+\sqrt{b^{2}+c}+\sqrt{c^{2}+a}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 04-01-2016 - 18:08

cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1

chứng minh $\sqrt{a^{2}+b}+\sqrt{b^{2}+c}+\sqrt{c^{2}+a}\geq 2$



#2 quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa

Đã gửi 15-01-2016 - 20:37

Giả sử $b=max(a,b,c)$
Bất đẳng thức tương đương $\sqrt{a^{2}+b^{2}+bc+ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}+ac+bc}+\sqrt{c^{2}+a^{2}+ab+ac}\geq 2$
*$\sqrt{b^{2}+c^{2}+ac+bc}+\sqrt{c^{2}+a^{2}+ab+ac}\geq \sqrt{b^{2}+c^{2}+bc+ab}+\sqrt{a^{2}+c^{2}+2ac}$
$\Leftrightarrow (b^{2}+c^{2}+ac+bc)(c^{2}+a^{2}+ab+ac)\geq (b^{2}+c^{2}+ab+bc)(a^{2}+c^{2}+2ac)$
$\Leftrightarrow a(b-a)(b-c)\geq 0$(đúng theo giả sử)
Ta cần chứng minh $ \sqrt{a^{2}+b^{2}+bc+ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc+ab}+\sqrt{a^{2}+c^{2}+2ac}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{b+a^{2}}+\sqrt{b+c^{2}}\geq a+2b+c$
$\Leftrightarrow a^{2}b+ac^{2}\geq 2abc$(luôn đúng)
Đẳng thức tại $a=b=c=\frac{1}{3}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh