Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi và lời giải VMO 2016

vmo hsgqg thi quốc gia vmo2016

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 77 trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2097 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-01-2016 - 20:28

*
Phổ biến

Ngày 1.

 
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất:6/1/2016
 
Bài 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}6x-y+z^2=3 & & & \\ x^2-y^2-2z=-1 & & & \\ 6x^2-3y^2-y-2z^2=0 & & & \end{matrix}\right.(x,y,z\in\mathbb{R})$
 
Bài 2 (5 điểm).
 
a)Cho dãy số $a(n)$ xác định bởi $a_{n}=\ln(2n^2+1)-\ln(n^2+n+1)$ với $n=1,2...$.Chứng minh chỉ có hữu hạn số $n$ sao cho $\left \{ a_{n} \right \}< \frac{1}{2}$
 
b)Cho dãy số $b(n)$ xác định bởi $b_{n}=\ln(2n^2+1)+\ln(n^2+n+1)$ với $n=1,2...$.Chứng minh tồn tại vô hạn số $n$ sao cho $\left \{ b_n \right \}<\frac{1}{2016}$
 
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định,$A$ thay đổi sao cho tam giác $ABC$ nhọn.Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB,AC$
 
a)Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.$EF$ cắt $AO$ và $BC$ lần lượt tại $M$ và $N$.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ đi qua điểm cố định
 
b)Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại $E,F$ cắt nhau tại $T$.Chứng minh $T$ thuộc đường thẳng cố định
 
Bài 4 (5 điểm). Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước $m\times n$ ô vuông (mỗi ô trồng một cây).Một cách trồng được gọi là ấn tượng nếu như:
 
i)Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau
 
ii)Số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó
 
a)Hãy chỉ ra cách trồng ấn tượng khi $m=n=2016$
 
b)Chứng minh nếu có một cách trồng ấn tượng thì cả $m$ và $n$ đều là bội của $4$
 

Ngày 2.

 

 
Bài 5 (6 điểm). Tìm tất cả các số thực $\alpha$ để tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn 
i) $f(1)=2016$.
ii) $f \left( x+y+f(y) \right) = f(x)+ \alpha y$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.
 
Bài 6 (7 điểm). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ (với tâm $O$) có các góc ở đỉnh $B,C$ đều nhọn. Lấy điểm $M$ trên cung $BC$ không chứ $A$ sao cho $AM$ không vuông góc với $BC$. $AM$ cắt trung trực $BC$ tại $T$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOT$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N \ne A$).

  • Chứng minh $\angle BAM= \angle CAN$.
  • Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $G$ là chân phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$. $AI,MI,NI$ cắt $(O)$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P,Q$ tương ứng là giao điểm của $DF$ với $AM$ và $DE$ với $AN$. Đường tròn đi qua $P$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DF$ tại $H$ ($H \ne D$), đường tròn đi qua $Q$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DE$ tại $K$ ($K \ne D$). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$ tiếp xúc với $BC$.

Bài 7 (7 điểm). Số nguyên dương $n$ được gọi là số hoàn chỉnh nếu $n$ bằng tổng các ước số dương của nó (không kể chính nó).

  • Chứng minh rằng nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì $n$ có dạng $$n=p^sm^2$$ trong đó $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$, $s$ là số nguyên dương có dạng $4h+1$ và $m$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$.
  • Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ sao cho $n-1$ và $\frac{n(n+1)}{2}$ đều là các số hoàn chỉnh.

 

-------------------

 

Update: Nhóm các thầy Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng và Lê Phúc Lữ vừa cho ra mắt tài liệu Lời giải và Bình luận Đề thi VMO 2016. Các bạn có thể xem ở link này (hoặc tải trực tiếp ở link dự phòng này).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 08-01-2016 - 21:39
Cập nhật tài liệu

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#2 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 06-01-2016 - 11:19

12512581_1715122925399640_46894397810193

NGÀY 1 

nguồn : Apollo Trần


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 06-01-2016 - 13:39

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 06-01-2016 - 11:36

Câu hình b) có lẽ là đề Nga đã lâu rồi và mình đã viết bài tổng quát ở đây http://analgeomatica...-tren-thtt.html

 

Link gốc http://www.artofprob...ommunity/h16779



#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 06-01-2016 - 12:27

Câu hình b) có lẽ là đề Nga đã lâu rồi và mình đã viết bài tổng quát ở đây http://analgeomatica...-tren-thtt.html

 

Link gốc http://www.artofprob...ommunity/h16779

Câu a hạ AH là đường cao tam giác ABC thì AH là đường đẳng giác của tam giác ABC với cạnh AM

Ta có: $\widehat{DAM}=\widehat{DAC}-\widehat{OAC}$

$\widehat{MND}=\widehat{HAF}-\widehat{EAD}$

Từ đó dẫn đến $\widehat{DAM}=\widehat{DAM}$ nên tứ giác $AMDN$ nội tiếp.

Suy ra điểm cố định đó là $D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 06-01-2016 - 12:27

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{11 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{KR Ex-Aid}}$

Đã gửi 06-01-2016 - 12:31

Câu a gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến BC

Ta có : $\angle MAC=\angle BAH =\angle BDE\Rightarrow \angle FDC=\angle MAB\Leftrightarrow \angle DFN+\angle DNF =\angle EAD+\angle DAM$

$\Rightarrow \angle DNF=\angle DAM\Rightarrow A,D,M,N$ đồng viên

$\Rightarrow (AMN)$ đi qua $D$ cố định 

Chậm chân :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 06-01-2016 - 12:32

tumblr_o59sm1pJLc1vq8hi4o1_500.gif


#6 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{11 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{KR Ex-Aid}}$

Đã gửi 06-01-2016 - 12:58

Câu 1 :

Từ hệ suy ra : $\frac{(6x-y+z^{2}-3)-(6x^{2}-3y^{2}-y-2z^{2})}{3}+(x^{2}-y^{2}-2z+1)=0$

$<=>(x-1)^{2}=(z-1)^{2}$ . Ta có hai trường hợp $x=z$ hoặc $z=2-x$

_ Với $x=z$, hệ phương trình trở thành

$\left\{\begin{matrix}6x-y+x^{2}=3\\ x^{2}-y^{2}-2x=-1 \\ 4x^{2}-3y^{2}-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}6x-y+x^{2}=3\\ (x-1)^{2}=y^{2}\\ 4x^{2}-3y^{2}-y=0\end{matrix}\right.$

Đến đây lại xét hai trường hợp : $x=y+1$ hoặc $x=1-y$ thế vào giải phương trình bậc hai

_ Với $z=2-x$, hệ phương trình trở thành

$\left\{\begin{matrix}1+2x+x^{2}=y\\ x^{2}+4x-3=y^{2} \\ 4x^{2}+8x-8-3y^{2}-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}(x^{2}+4x+4+1)=-4=-4\\ (x+1)^{2}=y\\ 4x^{2}+8x-8-3y^{2}-y=0\end{matrix}\right.$

Khi đó hệ vô nghiệm do phương trình đầu vô nghiệm ( vế trái dương - vế phải âm )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 06-01-2016 - 23:48

tumblr_o59sm1pJLc1vq8hi4o1_500.gif


#7 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 06-01-2016 - 13:01

Bài hệ đầu tiên nhìn chán và thiếu sáng tạo quá  :D



#8 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1390 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 06-01-2016 - 13:15

 

                         BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                   KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA THPT NĂM 2016

                                                                                                                                        MÔN TOÁN

                         $\boxed{\textrm{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$              Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                                Ngày thi thứ nhất:6/1/2016

 

Bài 1 (5 điểm).

 

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}6x-y+z^2=3(1) &  &  & \\ x^2-y^2-2z=-1(2) &  &  & \\ 6x^2-3y^2-y-2z^2=0(3) &  &  & \end{matrix}\right.(x,y,z\in\mathbb{R})$

 

 

Lấy (1)-(2):$6x-y+z^2-6x^2+3y^2+y+2z^2=3\Leftrightarrow 6x+3y^2-6x^2+3z^2=3(4)$

 

Lấy $3\times (3)+(4)$:$-3x^2+3z^2+6x-6z=0$

 

$\Leftrightarrow -3(x-z)(x+z-2)=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=z &  & \\x+z=2 &  & \end{bmatrix}$

 

TH1:$x=z$

 

Khi đó HPT thành:$\left\{\begin{matrix}6x-y+x^2=3 &  &  & \\ x^2-y^2-2x=-1 &  &  & \\ 4x^2-3y^2-y=0 &  &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=x^2+6x-3 &  &  & \\ y^2=(x-11)^2 &  &  & \\ 4x^2-3y^2-y=0 &  &  & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=x^2+6x-3 &  &  & \\ y=|x-1| &  &  & \\ 4x^2-3y^2-y=0 &  &  &\end{matrix}\right. $

 

Nếu $y=x-1$ thì $\begin{bmatrix}x=z=\dfrac{-5+\sqrt{33}}{2};y=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2} &  & \\ x=z=\dfrac{-5-\sqrt{33}}{2};y=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2} &  & \end{bmatrix}$

 

Nếu $y=1-x$ thì $\begin{bmatrix}x=z=\dfrac{-7+\sqrt{65}}{2};y=\dfrac{9-\sqrt{65}}{2} &  & \\ x=z=\dfrac{-7-\sqrt{65}}{2};y=\dfrac{9+\sqrt{65}}{2} &  & \end{bmatrix}$

 

TH2:$x+z=2$

 

PT (1) thành:$y=(x+1)^2$

 

PT (2) thành:$y^2+4=(x+1)^2$

 

Do đó ta có:$y=y^2+4$ => PT vô nghiệm

 

Vậy $\boxed{(x;y;z)=\left \{ \left ( \dfrac{-5+\sqrt{33}}{2};\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2};\frac{-5+\sqrt{33}}{2}  \right );\left ( \dfrac{-5-\sqrt{33}}{2};\dfrac{-7-\sqrt{22}}{1};\frac{-5-\sqrt{33}}{2} \right );\left ( \dfrac{-7+\sqrt{65}}{2};\dfrac{9-\sqrt{65}}{2};\frac{-7+\sqrt{65}}{2} \right );\left ( \dfrac{-7-\sqrt{65}}{2};\frac{9+\sqrt{65}}{2};\dfrac{-7-\sqrt{65}}{2} \right ) \right \}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 06-01-2016 - 15:52


#9 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 06-01-2016 - 13:16

Xin chém câu 4a trước. :D

 

Đầu tiên là tạo cách trồng ấn tượng cho mảnh đất $4 \times 4$:

Screen Shot 2016-01-06 at 4.06.20 pm.png

 

Sau đó nhân lên $504^2$ rồi lắp thành mảnh $2016 \times 2016$.

Ví dụ, với mảnh $8 \times 8$ nhân lên $4$ mảnh $4 \times 4$ rồi lắp như sau:

Screen Shot 2016-01-06 at 4.10.38 pm.png

 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#10 mathwin5i

mathwin5i

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2016 - 13:38

Co ban nào có ý tưởng cho cậu 2b ko?

#11 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 06-01-2016 - 14:02

Co ban nào có ý tưởng cho cậu 2b ko?

dùng cái này là xong ; lim(b_(n+1)-b_n) =0 sau đó dùng thêm cái lim b_n= +vc nữa thì suy ra đpcm



#12 thangk50

thangk50

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Bóng Đá (FC BARCELONA)

Đã gửi 06-01-2016 - 14:26

Co ban nào có ý tưởng cho cậu 2b ko?

Đầu tiên ta sử dụng $\ln(1+x)<x$ với mọi $x>0$:

$b(n)=\ln(2n^2)+\ln(1+1/(2n^2))+\ln n^2+\ln(1+1/n+1/n^2)< \ln(2n^2)+ \ln n^2+1/(2n^2)+1/n+1/n^2 < \ln(2n^2)+ \ln n^2 +1$

Suy ra $\ln(2n^2) + \ln n^2 < bn < \ln(2n^2) + \ln n^2 + 1$ suy ra $\ln(2n^2) + \ln n^2 \le [b_n]$

Suy ra $0 \le b_n - [b_n] = \ln(2n^2 + 1) - \ln(2n^2) + \ln(n^2+n+1) - \ln(n)$ tiến đến 0 suy ra đpcm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 06-01-2016 - 18:22
LaTeX


#13 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4081 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐN
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-01-2016 - 14:39

Xin chém câu 4a trước. :D

 

Đầu tiên là tạo cách trồng ấn tượng cho mảnh đất $4 \times 4$:

attachicon.gifScreen Shot 2016-01-06 at 4.06.20 pm.png

 

Sau đó nhân lên $504^2$ rồi lắp thành mảnh $2016 \times 2016$.

Ví dụ, với mảnh $8 \times 8$ nhân lên $4$ mảnh $4 \times 4$ rồi lắp như sau:

attachicon.gifScreen Shot 2016-01-06 at 4.10.38 pm.png

Thế này thì giải quyết luôn câu b rồi :)

 

P/s: đề năm nay có vẻ "thiếu thốn" :( À, hình như câu b phức tạp hơn :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#14 dangkhuong

dangkhuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 06-01-2016 - 15:12

Câu a gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến BC

Ta có : $\angle MAC=\angle BAH =\angle BDE\Rightarrow \angle FDC=\angle MAB\Leftrightarrow \angle DFN+\angle DNF =\angle EAD+\angle DAM$

$\Rightarrow \angle DNF=\angle DAM\Rightarrow A,D,M,N$ đồng viên

$\Rightarrow (AMN)$ đi qua $D$ cố định 

Chậm chân :(

 

Xin lỗi nhưng câu a bài hình giải bằng biến đổi góc như sau thì có vẻ ko cần phải kẻ vẽ thêm H:
$∠ DNM$=$180°$-$∠EFC$-$∠C$=$∠ADE$-$∠C$

$∠DAM$=$∠OAB$-$∠DAE$ = $90°-∠C-∠DAE$

điều phải chứng minh tương đương với $∠ADE+∠DAE=90°$ (hiển nhiên đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 06-01-2016 - 15:13

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#15 viet14042000

viet14042000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp HỒ CHÍ MINH
  • Sở thích:Toán và chỉ toán :3

Đã gửi 06-01-2016 - 15:22

em xin đóng góp cách khác của bài hình câu a/
AMN = AFE +MAF

mà MAF = BDE ( phụ với gócABC) và AFE = ADE ( tứ giác AEDF nội tiếp)

do đó AMN = ADN

=> tứ giác AMDN nội tiếp => điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet14042000: 06-01-2016 - 15:25


#16 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 06-01-2016 - 15:54

Bài hình a) nếu không dùng góc có hướng phải xét 3 trường hợp!



#17 viet14042000

viet14042000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp HỒ CHÍ MINH
  • Sở thích:Toán và chỉ toán :3

Đã gửi 06-01-2016 - 16:01

Bài hình a) nếu không dùng góc có hướng phải xét 3 trường hợp!

tại sao phải 3 trường hợp vậy thầy?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet14042000: 06-01-2016 - 20:15


#18 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 06-01-2016 - 16:02

Trường hợp AB<AC,AB=AC,AB>AC.



#19 dangkhuong

dangkhuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 06-01-2016 - 16:27

Bài hình a) nếu không dùng góc có hướng phải xét 3 trường hợp!

Th ơi nếu ko xét có mất điểm ko ạ :(


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#20 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 06-01-2016 - 16:32

Cái đó tùy biểu điểm của người ra đề, thầy cũng không biết được, cũng có thể sẽ không bị trừ nếu có câu "các trường hợp còn lại ta làm tương tự".







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo, hsgqg, thi quốc gia, vmo2016

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh