Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi và lời giải VMO 2016

vmo hsgqg thi quốc gia vmo2016

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 77 trả lời

#61 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 08-01-2016 - 03:02

Dựa vào gợi ý ở post #59 của thầy thangk50, xin được hoàn thiện lời giải bài 7.

 

Lời giải.

 

Bổ đề 1. Nếu $n$ là một số hoàn chỉnh chẵn thì $n$ có dạng $2^k \left( 2^{k+1} -1 \right)$ trong đó $k \ge 1$ và $2^{k+1}-1$ là một số nguyên tố.

 

Chứng minh. Đặt $n=2^kM$ với $k \in \mathbb{N}, k \ge 1, 2 \nmid M$. Khi đó ta có $2n= \sigma(n)$ hay $$2^{k+1}M= \sigma(2^k) \cdot \sigma(M) = \left( 2^{k+1}-1 \right) \sigma (M).$$

Do $\left( 2^{k+1}, 2^{k+1}-1 \right)=1$ nên $2^{k+1}-1 \mid M$. Đặt $M= \left( 2^{k+1}-1 \right)x$ thì $\sigma(M)=2^{k+1}x$. Do đó $M+x= \sigma(M)$. Do $x \mid M$ và $x<M$ nên $x,M$ là hai ước nguyên dương phân biệt của $M$. Từ điều kiện $\sigma(M)=M+x$ suy ra $M$ chỉ có hai ước nguyên dương này. Do đó chỉ có thể $x=1$. Khi đó $M= 2^{k+1}-1$ là một số nguyên tố và $n=2^k \left( 2^{k+1}-1 \right)$ với $2^{k+1}-1$ nguyên tố.        $\blacksquare$

 

Bổ đề 2. (câu 7a) Nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì $n$ có dạng $p^sm^2$ với $p \equiv 1 \pmod{4}$ nguyên tố $s,m$ là số nguyên dương sao cho $s \equiv 1 \pmod{4}, \; p \nmid m$.

 

------------------------------------------

 

Quay lại bài toán, ta xét hai trường hợp:

 

TH1. Nếu $n$ lẻ thì $n-1$ chẵn nên theo bổ đề 1 ta suy ra $n-1=2^k \left( 2^{k+1}-1 \right)$ với $k \ge 1, k \in \mathbb{N}, 2^{k+1}-1$ nguyên tố. 

 

Với $k=1$ thì $n=7$. Thử lại thấy $\frac{n(n+1)}{2}= 28$ là số hoàn chỉnh.

 

Với $k \ge 2$ thì $n \equiv 1 \pmod{4}$. Khi đó $\frac{n(n+1)}{2}$ là số lẻ. Ta suy ra theo bổ đề 2 thì $\frac{n(n+1)}{2}= p^sm^2$ với các điều kiện $s,m,p$ như bổ đề 2. Từ đây ta suy ra $$n \cdot \frac{n+1}{2}= \left( 2^{2k+1}-2^k+1 \right) \cdot \left(2^{2k}-2^{k-1}+1 \right) = p^sm^2.$$

Do $\left( n, n+1 \right)=1$ nên ít nhất một trong hai số $n, \frac{n+1}{2}$ phải là số chính phương. Chung quy là ta sẽ đi giải hai phương trình nghiệm nguyên dương $2^{k-1} \left( 2^{k+1}-1 \right) = (x-1)(x+1)$ hoặc $2^k \left( 2^{k+1}-1 \right)= (x-1)(x+1)$ với $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$. Giải hai phương trình này không khó khi ta đã biết được rằng $2^{k+1}-1$ là số nguyên tố, khi đó thì luôn có $2 \left( 2^{k+1}-1 \right) \mid x+1$ suy ra $x-1 \ge 2^{k+2}-4 > 2^k$ do $k \ge 1$. Điều này dẫn đến cả hai phương trình đều không có nghiệm nguyên dương.

 

TH2. Nếu $n$ chẵn thì $n-1$ lẻ. Do đó theo bổ đề 2 ta có $n-1= p^sm^2$ suy ra $n \equiv 2 \pmod{4}$ vì $p \equiv 1 \pmod{4}$. Do đó $\frac{n(n+1)}{2}$ lẻ nên theo bổ đề 2 thì $$\frac{n(n+1)}{2}= \frac{\left( p^sm^2+1 \right) \left( p^sm^2+2 \right)}{2}= q^th^2,$$ với $q$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$, $t$ là số nguyên dương có dạng $4l+1$ và $h$ không chia hết cho $q$.

Do $(n,n+1)=1$ nên từ phương trình, một trong hai số $\frac n2, n+1$ là số chính phương. Chung quy là ta đi giải hai phương trình nghiệm nguyên dương $p^sm^2+1=x^2$ hoặc $p^sm^2+2=x^2$. Hai phương trình này đều vô nghiệm nguyên dương vì $p^sm^2+1 \equiv 2 \pmod{4}, p^sm^2+2 \equiv 3 \pmod{4}$.

 

Như vậy, $n=7$ là đáp án duy nhất cho bài toán.     $\blacksquare$


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#62 Fr13nd

Fr13nd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:toán, đá bóng, bơi

Đã gửi 08-01-2016 - 08:01

cho mình hỏi kì thi này vốn không có bất đẳng thức hay sao ?


LENG KENG...


#63 Fr13nd

Fr13nd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:toán, đá bóng, bơi

Đã gửi 08-01-2016 - 10:29

Ai có thể rút gọn hộ mình những mảng kiến thức quan trọng của kì thi QG được không ạ. Cảm ơn


LENG KENG...


#64 vietanhpbc

vietanhpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An
  • Sở thích:Toán học & nhiều cái khác

Đã gửi 08-01-2016 - 10:46

Ta dễ dàng cm được các tứ giác sao nội tiếp: QKPH; AQKG;AHPG
⇒$\widehat{DKG}=\widehat{QAG}=\widehat{GAP}=\widehat{GHP}$
Gọi S=DE∩BC 
Theo câu a) ta dễ có BC II PQ ( theo tứ giác EAIQ nt) ⇒$\widehat{DSG} =\widehat{KQP}=\widehat{KHP}=\widehat{KHG}+\widehat{GHP}$
Lại có : $\widehat{DKG}=\widehat{GHP}$
⇒ $\widehat{BGK}=\widehat{GHK}$⇒dpcm

Hình gửi kèm

  • export.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 08-01-2016 - 13:28
$\LaTeX$

Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

 

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.

 

ALBERT EINSTEIN

 


#65 nmuyen2001

nmuyen2001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nhà hát của những giấc mơ

Đã gửi 08-01-2016 - 10:52

Câu 6a:
Gọi OT cắt (O) tại S.
$\widehat{MAN}$ là góc nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MAN}=\frac{1}{2} sđ cung(MN)$
$\widehat{NOS}$ là góc ở tâm $\Rightarrow \widehat{NOS}=sđ cung(NS)$
Mặt khác: $\widehat{MAN}=\widehat{NOS}$ (tứ giác AOTN nội tiếp)
nên $sđ cung(MN)=2sđ cung(NS) \Rightarrow sđ cung(NS)=sđ cung(SM)$
Mà $sđ cung(SB)=sđ cung(SC)$ (S nằm trên đường trung trực BC) $\Rightarrow sđ cung(BM)=sđ cung(CN) \Rightarrow đpcm$

Hình gửi kèm

  • 6a_vmo.png


#66 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 08-01-2016 - 19:44

Đề này có vẻ khá hợp lý. Nếu thay bài 1 bằng một bài đẹp hơn thì tuyệt  :wub:



#67 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 08-01-2016 - 20:15

Lời giải (ko trau chuốt) của lehoan cho 4b. 

Hình gửi kèm

  • bai4b.png


#68 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 08-01-2016 - 20:16

Lời giải bài 5

Hình gửi kèm

  • bai5.png


#69 vietanhpbc

vietanhpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An
  • Sở thích:Toán học & nhiều cái khác

Đã gửi 08-01-2016 - 20:54

Thầy Dũng, thầy Hùng, thầy Lữ,anh Cẩn đã cho ra lời giải và nhận xét về VMO 2016

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 08-01-2016 - 21:35
Đổi tên file

Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

 

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.

 

ALBERT EINSTEIN

 


#70 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 08-01-2016 - 23:34

Trong các lời giải bài hình, chỗ nào sử dụng được góc hình học và các trường hợp còn lại "tương tự" thì ta vẫn nên làm. Tuy vậy có những chỗ không thể thay thế được góc định hướng thì vẫn phải dùng.

 

Ví dụ đơn giản là câu a) bài 6. Việc từ $\angle OTM=\angle OTN$ suy ra $TM=TN$ là một suy luận đúng. Tuy vậy nếu tôi sẽ vẫn thắc mắc là phép suy luận này dựa trên những lập luận đúng nào và khi đó rất khó có câu trả lời dựa trên lập luận với góc hình học hoặc nếu có phải xét nhiều trường hợp và chú ý là những trường hợp này không "tương tự". Do đó việc dùng góc định hướng là tối ưu. Với lời giải này ta cũng không cần $B,C$ nhọn và $M$ có thể nằm bất kỳ trên đường tròn.

 

Cũng có một số ý kiến nói là $P,I,Q$ thẳng hàng theo Pascal là ra ngay cần gì rắc rối như vậy. Nhưng thực ra nếu để ý kỹ định lý Pascal là một định lý lớn và chứng minh không đơn giản, việc dùng một bổ đề như định lý Pascal trong lời giải hẳn nhiên nhanh nhưng không gọi là đơn giản. Do đó trong cách trình bày lời giải tôi đã cố gắng chọn một cách giản lược nhất có thể. Mặt khác với chú ý rằng tia $AN$ không nhất thiết luôn nằm giữa tia $AB,AM$ nên việc dùng góc có hướng trong câu b) là thực sự cần thiết.



#71 Dialga Palkia

Dialga Palkia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 09-01-2016 - 14:53

Câu 5:
$(x;y): f(x+y+f(y))= f(x)+ay$
$(0;0): f(f(0))=f(0)$
$(-2016;1): f(-2016+1+f(1))=f(-2016)+a\Rightarrow f(-2016)=2016-a$
$(x;-2016): f(x-2016+f(-2016))=f(x)-2016a\Rightarrow f(x-a)=f(x)-2016a$
$\Rightarrow f(x-ka)=f(x)-2016ka,(k \in N)$
$(0;-a): f(-a+f(-a))=f(0)-a^2\Rightarrow f(-a+f(0)-2016a)=f(0)-a^2$
$\Rightarrow f(f(0))-2016.2017a=f(0)-a^2$
Suy ra $a=0$ hoặc $a=2016.2017$

#72 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 09-01-2016 - 21:28

Chỗ này em không hiểu lắm. Tại sao các cột còn lại có nhiều hơn $\frac m2 \frac n4$ cây xanh vậy ạ ?

 

Trong ô vuông mxn ta đã trích ra ô vuông con gồm n/2 cột và m hàng. Bây giờ xét ô vuông con gồm n/2 cột (sau khi đã loại đi n/2 cột vừa xét) và m/2 hàng. Lưu ý rằng theo cách chọn ra m/2 hàng vừa nêu thì trên mỗi hàng có ít nhất 3n/4 cây xanh. Ta đã lấy đi không quá n/2 cây xanh nên bây giờ còn lại nhiều hơn n/4 cây xanh. Có m/2 hàng như thế nên tổng cộng là nhiều hơn $\frac{m}{2}\frac{n}{4}$. 



#73 bacdaptrai

bacdaptrai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thành phố Vũng Tàu
  • Sở thích:chơi bóng đá, học các môn tự nhiên

Đã gửi 12-01-2016 - 22:47

 Có thể bài bất dễ các bài còn lại khó hơn thì sao như hình học và phương trình hàm chẳng hạn,ngoài ra tổ hợp cũng sẽ là một thách thức không dễ vượt qua

thực ra đề năm nay khá là phù hợp với học sinh



#74 liverpool29

liverpool29

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 13-01-2016 - 22:14

Một mở rộng của bài 6: (xuất phát từ bài mở rộng số 6 của thầy Hùng trong "Lời giải và bình luận VMO 2016")

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, có $I,J$ là hai điểm đẳng giác. $AI,AJ$ cắt $(O)$ lần lượt tại $Y,Z$.

$M,N$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$ sao cho $MN \parallel BC$. $IJ$ cắt $(O)$ tại $W,T$ ($W$ thuộc cung chứa $A$).

$d$ là đường thẳng qua $I$ và song song $BC$.

$WM,WN$ cắt $d$ lần lượt tại $P,Q$.

$MI,NI$ cắt $(O)$ lần lượt tại $E,F$.

$FP,EQ$ cắt nhau tại $R$.

$EQ$ cắt $(IJQ)$ tại $H$, $FP$ cắt $(IJP)$ tại $K$.

$a)$ Chứng minh rằng $H,K,R,T,J$ đồng viên.

$b)$ $HK$ đi qua một điểm cố định khi $M,N$ di động. Gọi điểm đó là $V$.

$c)$ Gọi $S$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $VH.VK=VS^2$.

$RS,TS$ cắt $(O)$ tại $S_1,S_2$.

$YS,ZS$ cắt $(O)$ tại $S_3,S_4$.

Chứng minh rằng $S_1S_2,S_3S_4,BC$ đồng quy.

VMO2016.png

 

P/s: Mình xin lỗi, kết luận của câu c đúng với mọi S thuộc BC. Mình sẽ cố gắng làm lại.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi liverpool29: 16-01-2016 - 23:18


#75 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 13-01-2016 - 22:48

Cám ơn Khoa, thầy thì đang nghĩ nếu có cách làm nào tổng quát được đường tròn tiếp xúc câu a) không phải tại trung điểm cung và đường tròn tx $BC$ cũng không phải tại giao điểm phân giác thì đẹp :D



#76 khucthivui

khucthivui

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 22-02-2016 - 13:10

mình hỏi hơi lạc đề 1 chút đc ko ạ. bạn nào biết tên cuộc thi VMC là viết tắt của cuộc thi nào ko nhỷ/ giúp m với. m đang cần gấp quá mà ko hỏi đc ở đâu cả.



#77 SinCosTan

SinCosTan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2016 - 09:25

Cho em hỏi cách trồng cây ở bài 4a) có là duy nhất không ?



#78 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 491 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 06-11-2016 - 20:26

Xin chém câu 4a trước. :D

 

Đầu tiên là tạo cách trồng ấn tượng cho mảnh đất $4 \times 4$:

attachicon.gifScreen Shot 2016-01-06 at 4.06.20 pm.png

 

Sau đó nhân lên $504^2$ rồi lắp thành mảnh $2016 \times 2016$.

Ví dụ, với mảnh $8 \times 8$ nhân lên $4$ mảnh $4 \times 4$ rồi lắp như sau:

attachicon.gifScreen Shot 2016-01-06 at 4.10.38 pm.png







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo, hsgqg, thi quốc gia, vmo2016

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh