Chủ đề này có 10 trả lời

[quanguefa]

Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

$f(x^{2}+y^{2})=x.f(x)+y.f(y)$     $(\forall x,y\epsilon \mathbb{R})$ 

[Đề duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ 2014]

 

Mình chưa từng được học qua phương trình hàm và cũng ko nắm được các phương pháp giải phương trình hàm nhưng vẫn mò được một lời giải theo phương pháp cân bằng hệ số. Nhưng vấn đề là trông nó hơi gượng gạo và ko biết là có sai ở đâu không! Post hy vọng nhận được lời nhận xét về tính đúng sai của lời giải này (nếu bạn nào giải lại thì càng tốt).

Lời giải:

Giả sử f(x) có bậc 0. Khi đó: $f(x^{2}+y^{2})=f(x)=f(y)=m $ (m là hằng số)

$\Rightarrow m=x.m+y.m$

$\Leftrightarrow m(x+y-1)=0$ (với mọi x,y)

$\Leftrightarrow m=0$ 

$\Leftrightarrow f(x)=0$

Trường hợp f(x) có bậc khác 0, gọi k là bậc của f(x) (k thuộc N, k khác 0). Khi đó:

$f(x^{2}+y^{2})$ có bậc là 2k

$x.f(x)+y.f(y)$ có bậc là k+1

$\Rightarrow 2k=k+1\Leftrightarrow k=1$

Từ đó suy ra f(x) có dạng: ax+b (a, b thuộc R; a khác 0)

{Chỗ này nghi sai nhất} Xét x=y=0 thì f(0)=0 

Suy ra b=0 suy ra f(x)=ax

Ta thấy với mọi a mọi đa thức f(x)=ax đều thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy f(x)=cx (với c thuộc R)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 05-01-2016 - 21:59

[Ninhduccuong]

Cái này là giải phương trình hàm mà bạn. Hàm số có thể là hàm lượng giác, nên bạn ko thể g/sử f có bậc là 0 hay bậc k được

[Ninhduccuong]

$f(x^{2}+y^{2})=xf(x)+yf(y)$

thay x=0 => $f(x^{2})=xf(x)$

              => ta có $f(x^{2}+y^{2})=f(x^{2})+f(y^{2})$

              => f là hàm cộng tính

$f(x^{2})=xf(x)$

suy ra $f((x+1)^{2})=(x+1)f(x+1)$                                         (1)                

       f cộng tính $f((x+1)^{2})=f(x^{2}+2x+1)=f(x^{2})+f(2x)+f(1)$          (2)

(1)(2) suy ra $(x+1)f(x+1)=f(x^{2})+f(2x)+f(1)$

                    => $xf(x)+xf(1)+f(1)+f(x)=xf(x)+2f(x)+f(1)$

                    => $f(x)=xf(1)$

                 

[quanguefa]

Hình như vẫn chưa đi tới đáp số ma bạn @@

[Ninhduccuong]

f(1) là hằng số ấy mà, thử lại thay vào thì nó luôn đúng

[quanguefa]

f(1) là hằng số ấy mà, thử lại thay vào thì nó luôn đúng

Mình ko hiểu lắm bạn, f(1) mình đâu tính chính xác được là bnhiu

[Ninhduccuong]

Mình ko hiểu lắm bạn, f(1) mình đâu tính chính xác được là bnhiu

f(1) là 1 cái xác định được mà, không đổi. Nó là cái "c" mà bạn viết trong lời giải của bạn ý.

Vì nếu tồn tại hàm f thì sẽ tồn tại đại lượng f(1)=c ( c là hằng số)

[superpower]

Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

$f(x^{2}+y^{2})=x.f(x)+y.f(y)$     $(\forall x,y\epsilon \mathbb{R})$ 

[Đề duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ 2014]

 

Mình xin giải

Dễ suy ra $f(0)=0$

Thay $y=0 => f(x^2)=xf(x) $ 

Suy ra $xf(x) = -xf(-x) => f(-x)=-f(x) $

Do đó $f(x^2 + y^2 )=f(x^2) +f(y^2 )$

Suy ra $f(x+y)= f(x) + f(y) $ với $x,y \geq 0$

Mặt khác $f(-x) =-f(x) $

Do đó $f(x+y)=f(x) + f(y)  \forall x,y \in R => f(nx)=nf(x)$ với mọi $n$ thuộc $N$

Ta sẽ tính $f((x+1)^2 ) $ theo 2 cách

Cách 1: $ f((x+1)^2 ) = (x+1)f(x+1) = (x+1) ( f(x) +f( 1) )= xf(x) + xf(1)+ f(x) +f(1) $

Cách 2: $f((x+1)^2 ) = f(x^2) + f(2x) +f(1) = xf(x) + 2f(x) + f(1) $

Do đó $x+f(x) +f(1)= 2f(x) +f(1) => f(x)=f(1)x => f(x) =cx $

Thử lại thỏa 

[quanguefa]

Mình xin giải

Dễ suy ra $f(0)=0$

Thay $y=0 => f(x^2)=xf(x) $ 

Suy ra $xf(x) = -xf(-x) => f(-x)=-f(x) $

Do đó $f(x^2 + y^2 )=f(x^2) +f(y^2 )$

Suy ra $f(x+y)= f(x) + f(y) $ với $x,y \geq 0$

Mặt khác $f(-x) =-f(x) $

Do đó $f(x+y)=f(x) + f(y)  \forall x,y \in R => f(nx)=nf(x)$ với mọi $n$ thuộc $N$

Ta sẽ tính $f((x+1)^2 ) $ theo 2 cách

Cách 1: $ f((x+1)^2 ) = (x+1)f(x+1) = (x+1) ( f(x) +f( 1) )= xf(x) + xf(1)+ f(x) +f(1) $

Cách 2: $f((x+1)^2 ) = f(x^2) + f(2x) +f(1) = xf(x) + 2f(x) + f(1) $

Do đó $x+f(x) +f(1)= 2f(x) +f(1) => f(x)=f(1)x => f(x) =cx $

Thử lại thỏa 

Chỗ đó mình ko hiểu lắm. Giả sử như x<0, y>0 thì $f(x+y)$ tính ntn, đâu thể có $f(x+y)=f(x)+f(y)$ được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 08-01-2016 - 14:40

[quanguefa]

$f(x^{2}+y^{2})=xf(x)+yf(y)$

thay x=0 => $f(x^{2})=xf(x)$

              => ta có $f(x^{2}+y^{2})=f(x^{2})+f(y^{2})$

              => f là hàm cộng tính

$f(x^{2})=xf(x)$

suy ra $f((x+1)^{2})=(x+1)f(x+1)$                                         (1)                

       f cộng tính $f((x+1)^{2})=f(x^{2}+2x+1)=f(x^{2})+f(2x)+f(1)$          (2)

(1)(2) suy ra $(x+1)f(x+1)=f(x^{2})+f(2x)+f(1)$

                    => $xf(x)+xf(1)+f(1)+f(x)=xf(x)+2f(x)+f(1)$

                    => $f(x)=xf(1)$

Ở đây bạn chưa chỉ ra hàm f cộng tính trên R!

[superpower]

Chỗ đó mình ko hiểu lắm. Giả sử như x<0, y>0 thì $f(x+y)$ tính ntn, đâu thể có $f(x+y)=f(x)+f(y)$ được!

Do hàm lẻ đó bạn, bạn có thể xem trong hàm Cauchy để hiểu thêm nha bạn. Phương pháp tính bằng 2 cách để đưa về hàm cộng tính, trong sách sẽ ghi rõ hơn nha bạn