Chủ đề này có 5 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:  $(a+b+c)^{3}-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc\geq 0$

[bvptdhv]

BĐT cần CM $$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
 

BĐT trên đúng khi ta chứng minh được $12abc+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Đến đây phân tách ra dễ thấy $đpcm$

[Tran Thanh Truong]

BĐT cần CM $$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
 

BĐT trên đúng khi ta chứng minh được $12abc+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Đến đây phân tách ra dễ thấy $đpcm$

Bạn à cách này mình dùng và phân tích ra thì thấy nó ngược dấu... => Sai

[tcqang]

Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:  $(a+b+c)^{3}-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc\geq 0$

Đây cũng chính là 1 hệ quả của BĐT Schur bậc 1.

Khai triển ra hết sẽ về dạng tương đương:

$a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)$

$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0$

Đến đây giả sử $a \ge b \ge c$ sẽ có $a(a-b)(a-c) \ge b(a-b)(b-c)$ và $c(c-a)(c-b) \ge 0$ nên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 07-01-2016 - 01:38

[tcqang]

BĐT Schur tổng quát:

Với $a, b, c, k \ge 0$ thì: 

$$a^k (a - b)(a-c) + b^k (b-c)(b-a) + c^k (c-a)(c-b) \ge 0$$

Khi $k=1$ ta có các kết quả tương đương sau:

$1) a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0.$  

$2) a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b$

$3) a^3 + b^3 + c^3 + 5abc \ge (a+b)(b+c)(c+a)$

$4) a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge (a+b+c)(ab + bc+ ca)$

$5) 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3abc \ge (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)$

$6) (a+b+c)^3 + 5abc \ge 4(a+b)(b+c)(c+a)$

$7) (a+b+c)^3 + 9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$8) 4(a^3 + b^3 + c^3) + 15abc \ge (a+b+c)^3$

Ngoài ra còn có các biến đổi tỉ số từ 8 dạng trên...

[Uchiha sisui]

BĐT Schur tổng quát:

Với $a, b, c, k \ge 0$ thì: 

$$a^k (a - b)(a-c) + b^k (b-c)(b-a) + c^k (c-a)(c-b) \ge 0$$

Khi $k=1$ ta có các kết quả tương đương sau:

$1) a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0.$  

$2) a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b$

$3) a^3 + b^3 + c^3 + 5abc \ge (a+b)(b+c)(c+a)$

$4) a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge (a+b+c)(ab + bc+ ca)$

$5) 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3abc \ge (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)$

$6) (a+b+c)^3 + 5abc \ge 4(a+b)(b+c)(c+a)$

$7) (a+b+c)^3 + 9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$8) 4(a^3 + b^3 + c^3) + 15abc \ge (a+b+c)^3$

Ngoài ra còn có các biến đổi tỉ số từ 8 dạng trên...

anh ơi còn trường hợp với k=2 ,3 thì sao anh