Chủ đề này có 7 trả lời

[basketball123]

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,xyz\leq 0$

 

CMR: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$

 

2. Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $2a\leq c$ và $ab+bc=2c^{2}$

 

Tìm GTLN của $P=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$

 

3. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{2z^{2}}$

 

Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

 

4. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{9}{4}$

 

Tìm GTLN của $S=(x+\sqrt{x^{2}+1})^{y}(y+\sqrt{y^{2}+1})^{z}(z+\sqrt{z^{2}+1})^{x}$

 

5. Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y=2\sqrt{x+2}+3\sqrt{y-2014}+2012$

 

Tìm GTNN và GTLN của $S=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+\frac{2015+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

 

6. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 

 

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}+\frac{y^{3}+1}{\sqrt{y^{4}+z+x}}+\frac{z^{3}+1}{\sqrt{z^{4}+x+y}}-\frac{8(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx+1}$

 

7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 

 

Tìm GTLN của $P=\frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}-\frac{x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}}{24x^{3}z^{3}}$

 

8. Cho các số x,y,z >0 thỏa mãn $3(x+y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy$

 

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}+x+y+z$

 

9. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{5}$

 

Tìm GTLN của $P=\left | (a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2}) \right |$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-01-2016 - 21:10

[quanganhthanhhoa]

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,xyz\leq 0$

 

CMR: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$ 

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

$\left [2(x+y)+z(2-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ](4+(2-xy)^2)$

$=(9+2xy)(8+x^2y^2-4xy)$

Ta sẽ đi cm $(9+2t)(8+t^2-4t)\leqslant 100$

$(t+2)^2(2t-7)\leqslant 0$ (với $t=xy$) $(*)$

Đến đây giả sử $|x|\leqslant |y|\leqslant |z|\Rightarrow x^2\leqslant y^2\leqslant z^2\Rightarrow x^2+y^2\leqslant 6$

Mà $xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant 3$ suy ra đpcm

[quoccuonglqd]

2/Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a}$

$2a\leq c\Rightarrow \frac{c}{a}\geq 2\Rightarrow y\geq 2$

$2c^{2}=ab+bc\leq \frac{3bc}{2}\Rightarrow 3b\geq 4c\geq 8a\Rightarrow \frac{b}{a}\geq \frac{8}{3}\Rightarrow y\geq \frac{8}{3}$

$P=\frac{a}{a-b}+\frac{\frac{2c^{2}}{a+c}}{\frac{2c^{2}}{a+c}-c}+\frac{c}{c-a}=\frac{a}{a-b}+\frac{3c}{c-a}=\frac{1}{1-x}+\frac{3}{1-y}\geq \frac{1}{1-\frac{8}{3}}+\frac{3}{1-2}=\frac{-18}{5}$

Đẳng thức tại $8a=4c=3b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 08-01-2016 - 10:23

[quoccuonglqd]

3/Đặt $a=\frac{x}{z},b=\frac{y}{z}$

$\frac{1}{2z^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}}{2}\Rightarrow a+b\leq ab$(*)

$P=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}}=(a+b+1)(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1})+\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+1}}-2$

(*)$\Rightarrow a+b\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}\Rightarrow a+b\geq 4$

(*)$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}+1}\leq ab-1\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}-1 $

$P\geq \frac{4(a+b+1)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^{2}-4}-2$

Khảo sát hàm f(t) với $t=a+b$ ,$t\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 08-01-2016 - 14:46

[quoccuonglqd]

4/Áp dụng AM-GM :$S\leq \frac{{[y(x+\sqrt{x^{2}+1})]+[z(y+\sqrt{y^{2}+1})]+[x(z+\sqrt{z^{2}+1})]}^{x+y+z}}{x+y+z}$

Bài toán trở thành tìm max $xy+yz+zx+y\sqrt{x^{2}+1}+z\sqrt{y^{2}+1}+x\sqrt{z^{2}+1}$

$xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=\frac{27}{16}$

$(y\sqrt{x^{2}+1}+z\sqrt{y^{2}+1}+x\sqrt{z^{2}+1})^{2}\leq(\sum \frac{x^{2}y+y}{x+y+z})[\sum y(x+y+z)]=\frac{\sum x^{2}y+\sum x}{x+y+z}(x+y+z)^{2} $

Ta chỉ cần tìm max $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

p/s:Bước cuối hình như không thể giải quyết được phải không nhỉ 

[quoccuonglqd]

8/$3(x+y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=(x+y)^{2}+z^{2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2}\Rightarrow x+y+z\leq 6$

$P\geq \frac{40}{\sqrt[4]{(x+z)(y+2)}}+x+y+z\geq x+y+z+\frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{x+y+z+2}}$

Khảo sát hàm f(t) với $t=x+y+z$,$t\leq 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 08-01-2016 - 16:35

[anhquannbk]

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,xyz\leq 0$

 

CMR: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$

 

2. Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $2a\leq c$ và $ab+bc=2c^{2}$

 

Tìm GTLN của $P=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$

 

3. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{2z^{2}}$

 

Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

 

4. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{9}{4}$

 

Tìm GTLN của $S=(x+\sqrt{x^{2}+1})^{y}(y+\sqrt{y^{2}+1})^{z}(z+\sqrt{z^{2}+1})^{x}$

 

5. Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y=2\sqrt{x+2}+3\sqrt{y-2014}+2012$

 

Tìm GTNN và GTLN của $S=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+\frac{2015+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

 

6. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 

 

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}+\frac{y^{3}+1}{\sqrt{y^{4}+z+x}}+\frac{z^{3}+1}{\sqrt{z^{4}+x+y}}-\frac{8(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx+1}$

 

7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 

 

Tìm GTLN của $P=\frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}-\frac{x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}}{24x^{3}z^{3}}$

 

8. Cho các số x,y,z >0 thỏa mãn $3(x+y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy$

 

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}+x+y+z$

 

9. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{5}$

 

Tìm GTLN của $P=\left | (a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2}) \right |$

Bài 1 là BĐT sau khi chuẩn hóa của đề thi VMO 2002

 Cho $ x,y,z $ là các số thực bất kì ta có BĐT

$ 6(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})\le 27xyz+10(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\dfrac{3}{2}} $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 08-01-2016 - 15:32

[basketball123]

 

2/Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{a}$

$2a\leq c\Rightarrow \frac{c}{a}\geq 2\Rightarrow y\geq 2$

$2c^{2}=ab+bc\leq \frac{3bc}{2}\Rightarrow 3b\geq 4c\geq 8a\Rightarrow \frac{b}{a}\geq \frac{8}{3}\Rightarrow y\geq \frac{8}{3}$

$P=\frac{a}{a-b}+\frac{\frac{2c^{2}}{a+c}}{\frac{2c^{2}}{a+c}-c}+\frac{c}{c-a}=\frac{a}{a-b}+\frac{3c}{c-a}=\frac{1}{1-x}+\frac{3}{1-y}\geq \frac{1}{1-\frac{8}{3}}+\frac{3}{1-2}=\frac{-18}{5}$

Đẳng thức tại $8a=4c=3b$

 

Tìm GTLN mà bạn