Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 07-01-2016 - 23:48

Cho $k,n \geqslant 1$ là các số tự nhiên và $A$ là tập hợp gồm $(k-1)n+1$ số nguyên dương, mỗi số này đều không vượt quá $kn$. Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$. ($k$ phần tử này không nhất thiết phải khác nhau)



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1758 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=2Hw2catzrtU}{Đây}$

Đã gửi 01-11-2018 - 19:46

Lời giải: Với $k=1$ bài toán hiển nhiên đúng, chúng ta giả sử $k\ge 2$. Ký hiệu $m$ là số nhỏ nhất thuộc $A$. Dễ thấy rằng: $m\le n$ và tồn tại đúng $n-m$ số thuộc $A$ mà chúng lớn hơn $m$ nhưng không vượt quá $kn$.

Để chứng minh bài toán chúng ta tìm hai số $x$ và $y$ thuộc $A$ sao cho $x=y+(k-1)m$; nghĩa là biểu diễn một số nào đó thuộc $A$ thành tổng $k$ số hạng thuộc $A$ trong đó có $k-1$ số hạng bằng $m$. Chỉ cần tìm số $x$ thuộc $A$ mà $x>(k-1)m$ và $x-(k-1)m$ thuộc $A$.

Thật vậy, trong khoảng $\Delta=((k-1)m,kn]$ có $kn-(k-1)m=k(n-m)+m$ số nguyên. Vì $k\ge 2$ nên $(k-1)m\ge m$, theo nhận xét ban đầu suy ra có nhiều nhất $n-m$ số trong $\Delta$ không thuộc $A$. Điều này nghĩa là $A$ chứa ít nhất $s=k(n-m)+m-(n-m)=(k-1)(n-m)+m$ số. Nhưng $s\ge n$, vì $(k-2)(n-m)\ge 0$. Gọi $a_1,a_2,...,a_s$ thuộc A, với $(k-1)m<a_i\le kn,i=1,2,...,s$. Khi đó những hiệu $a_1-(k-1)m,a_2-(k-1)m,...,a_s-(k-1)m$ là những số nguyên khác nhau trong khoảng $[1,kn]$. Nếu một số nào đó trong chúng không thuộc $A$, thì theo nguyên lý Đirichlet chúng ta nhận được $s\le n-1$, vì ngoài $A$ có đúng $n-1$ số trong khoảng này, Như vậy trái với bất đẳng thức đã chứng minh $s\ge n$. Suy ra tồn tại một hiệu $a_i-(k-1)m$ thuộc $A$.

 

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh