Chủ đề này có 1 trả lời

[Korn FR]

Bài 1: Cho tam thức bậc 2 f(x)=ax^2+bx+c,  a khác 0

Chứng minh rằng nếu ac<0 thì phương trình f(f(x))=0 có nghiệm.

 

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC. P, Q lần lượt là giao điểm của EF với các tiếp tuyến  tại B và C của đường tròn (O), MF cắt AD tại L, ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K.

a)Chứng minh MP song song với CF, MQ song song với BE.

b)Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên cung BC.

c)Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL?

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korn FR: 08-01-2016 - 17:03

[tcqang]

Bài 1: Cho tam thức bậc 2 f(x)=ax^2+bx+ac khác 0

Chứng minh rằng nếu ac<0 thì phương trình f(f(x))=0 có nghiệm.

 

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC. P, Q lần lượt là giao điểm của EF với các tiếp tuyến  tại B và C của đường tròn (O), MF cắt AD tại L, ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K.

a)Chứng minh MP song song với CF, MQ song song với BE.

b)Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên cung BC.

c)Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL?

Bài 1.

Viết lại $f(f(x) = a f^2 (x) + b f(x) + c $.

Chúng ta có thể chứng minh chặt chẽ hơn: phương trình $f(f(x)) = 0$ có ít nhất 2 nghiệm trái dấu.

Thật vậy, do $ac < 0$ nên phương trình $af^2 + bf + c = 0$ luôn có 2 nghiệm trái dấu $t_1 < 0 < t_2$.

Tức $a f^2 (x) + b f(x) + c = 0 \Leftrightarrow f(x) = t_1$ hoặc $f(x) = t_2$ .

$\Leftrightarrow ax^2 + bx + c - t_1 = 0 (1) $ hoặc $ax^2 + bx + c - t_2 = 0 (2)$

Tới đây lý luận:

Do ac < 0 nên có thể giả sử $a > 0$ và $c < 0$ (nếu không thích giả sử thì chia thành 2 trường hợp cũng vậy).

Nên $c - t_2 < 0$ suy ra $a(c - t_2) < 0$, nên pt $(2)$ luôn có 2 nghiệm trái dấu $x_1 < 0 < x_2$.

Suy ra đpcm.