Đến nội dung

Hình ảnh

\[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
quynhquynh

quynhquynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Cho các số thực dương a,b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức : \[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^{3}}\]

 


#2
quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết

Cho các số thực dương a,b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức : \[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^{3}}\]  

 

Biến đổi BĐT đã cho thành
$ ( \frac{k}{a^{3}+b^{3}}-\frac{4k}{(a+b)^{3}}  )+ ( \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}-\frac{16}{(a+b)^{3}})\geq 0$
$\Leftrightarrow ( \frac{a-b}{a+b})^{2}[ \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)}-\frac{3k}{a^{3}+b^{3}} ]\geq 0$
Nên BĐT sau phải đúng:
$ [ (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2} ](a^{3}+b^{3})\geq 3ka^{3}b^{3}(a+b)$
Cho $a=b$ suy ra $k\leq 8$. Mặt khác, khi k=8 thì theo AM-GM:
$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}\geq 24a^{2}b^{2}$
$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ (đpcm)
Hằng số $k$ tốt nhất là $k=8$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh