Himura Kenshin
Trong topic này. Mình sẽ đưa ra loạt bài toán trong tập huấn KHTN của thầy Trần Quang Hùng./
Bài số 1:Cho tam giác ABC có P,Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. K, L lần lượt là tâm nội tiếp tam giác APB và APC. KL cắt PA tại S. M là điểm tiếp xúc trong của đường tròn nội tiếp tam giác QBC với BC. CMR SL là phân giác của góc ASM./
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 10-01-2016 - 20:13
Thiếu úy
Himura Kenshin
Là hệ quả một bài toán đã có ở đây http://analgeomatica...n-hoc-2015.html
Không vào được trang thầy ạ!./
Thiếu úy
Himura Kenshin
Em thử xem link trực tiếp https://www.dropbox....anQuangHung.pdf
Vâng ạ, cảm ơn thầy nhiều!
Bài toán này là bài mở đầu trong tập huấn KHTN của thầy, em không nghĩ là nó khó như vậy./
Bài số 2. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Các điểm M,N thuộc (I) sao cho MN∥BC. FM,EN cắt BC tại P,Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua P vuông góc IP, đường thẳng qua Q vuông góc IQ cắt nhau trên AD.
em giải theo kiểu trục đẳng phương thế này không biết có đúng không ạ./
Do MN // BC nên EFBC là tứ giác nội tiếp
Gọi R,S là giao của đường tròn ngoại tiếp tứ giác IPQT( T là giao của đường vuông góc với IQ tại Q với đường vuông góc với IP tại P) với (I)
Theo định lí về tâm đẳng phương thì EF,RS,PQ đồng quy( (IPQT),(EFPQ),(I) )
Gọi X là giao của TD với (I)
Ta cm: DEFX là tứ giác điều hòa tương đương với cm: DRXS là tứ giác điều hòa
K là giao của TD với (IPQT), ta có: $\angle IKD=90o$ nên IK; tiếp tuyến tại X,PQ đồng quy
Theo định lí về tâm đẳng phương cho ba đường tròn: Đường tròn đường kính ID;(IPTQ),(I) thì IK,RS,PQ đồng quy
Vậy DRXS là tứ giác điều hòa. Từ đây ta suy ra đpcm./
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 10-01-2016 - 20:15
Himura Kenshin
Bài 1 ấy công nhận là khó thật, đội không ai làm được, thầy chiều về sẽ xem kỹ cách giải bài 2 của em!
Vâng ạ, cảm ơn thầy nhiều./
Himura Kenshin
Lời giải bài số 3:Cho tứ giác hai tâm $ABCD$ có tâm ngoại tiếp $O$ và đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $AB,BC,CD,DA$ tại $M,N,P,Q$. $MP$ cắt $NQ$ tại $R$. $X,Y,Z,T$ là hình chiếu của $R$ lên $QM, MN, NP, PQ$. Chứng minh rằng $AX,BY,CZ,DT$ đồng quy trên $OI$
Bổ đề 1: MN,PQ,AC đồng quy./
Bổ đề 2: AC,BD,MP,NQ đồng quy./
Bổ đề 3: O,I,R thẳng hàng./
Lời giải: Gọi E là giao điểm của MN và PQ . Theo bổ đề 1 thì E thuộc AC./
Do RY //IB; RT//ID nên ta chỉ cần cm: RY/IB=RT/ID.
Theo định lý Sin, ta quy về cm:$\angle IBR= \angle RET$
Do ABCD nội tiếp, ngoại tiếp và IMBN nội tiếp, dễ dàng suy ra $\angle IBR= \angle RET$
Vậy BY,DT cắt nhau tại một điểm thuộc OI( theo bổ đề 3)
CMTT ta được q.e.d
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 10-01-2016 - 20:23
Himura Kenshin
Lời giải bài số 5
:Bài toán 5. Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ vuông góc $BD$. Gọi $K,L,M,N$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC,BCD,CDA,DAB$.
a) Chứng minh rằng $BK,CL,DM,AN$ đồng quy tại điểm $I$
b) Gọi $X,Y,Z,T$ là tâm ngoại tiếp tam giác $IAB,IBC,ICD,IDA$. Chứng minh rằng $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên đường tròn $(J)$ và $XZ,YT,IJ$ đồng quy.
P/s: Bài 4 loay hoay mãi chả biết giải kiểu gì./
a, Chỉ là một ứng dụng đơn giản của hai điểm liên hợp đẳng giác. Giải băng Ceva sin là được./
b, Do $X,Y,Z,T$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $IAB,IBC,ICA,IAD$ nên $XYZT$ là tứ giác tạo bởi đường trung trực của các cạnh $IA,IB,IC,ID$.
Bài toán quy về chứng minh $\angle DIC+\ angle AIB= 180o$./
$\angle AIB+\angle DIC=\angle CAD+\angle BDA+\angle DBC+\angle ACB=90o+90o=180o$./
Vậy $X,Y,Z,T$ đồng viên./
P/s: Hình như còn một ý thì phải./
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 10-01-2016 - 20:24
Himura Kenshin
Bài toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. E,F lần lượt là hình chiếu của H lên CA,AB. Gọi K,L,N lần lượt là tâm bàng tiếp đỉnh H của các tam giác HBF,HCE,HEF. Chứng minh rằng A là tâm nội tiếp tam giác KLN.
Lời giải của mình:
Bài số 7 là hệ quả của bài toán sau:
Cho tam giác $AHB$ vuông tại $H$. $F$ là chân đường cao từ $H$ xuống $AB$.$K$ là tâm bàng tiếp góc $H$ của tam giác $BHF$.$M$ là tâm bàng tiếp góc $F$ của tam giác $BHF$. $Z$ là điểm đối xứng với $F$ qua trung điểm $BH$ thì $\angle ZMB=\angle AKF$
Áp dụng định lí Ceva sin cho tam giác $AKH$ với sự đồng quy tại $F$; cho tam giác $BMH$ với sự đồng quy tại $Z$./
Để ý rằng:$\angle FAH=\angle ZBH;\angle FHA=\angle BHZ;\angle MBZ=\angle FKH;\angle ZHM=\angle FHK$
nên:$\frac{sin\angle FKA}{sin\angle FAK}=\frac{sin\angle ZMB}{sin\angle ZMH}$
Lại có: $\angle BFH=90o$ nên $\angle KFB=\angle BMH\leq 90o$ Ta có đpcm./
Himura Kenshin
Bài toán 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trung tuyến AM và điểm Lemoine L. AM cắt (O) tại N khác A. H là hình chiếu của N lên BC và K đối xứng H qua N. KM cắt CA,AB tại E,F. KL cắt CA,AB tại P,Q. PF cắt EQ tại R. Chứng minh rằng AL và KR cắt nhau trên (O).
Bài toán 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I. Trên cạnh BC lấy các điểm E,F sao cho AB(BC+AB−AC)/BE=AC(BC+CA−AB)/CF=AB+BC+CA. Gọi M,N là trung điểm của IB,IC. Chứng minh rằng ME,NF cắt nhau trên (O).
Bài toán 8. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD,BE,CF đồng quy tại G. Các điểm X,Y,Z lần lượt thuộc EF,FD,DE sao cho nếu DX,EY,FZ đồng quy tại P thì PX=PY=PZ. Khi đó gọi Q là đẳng giác của P trong tam giác ABC. Chứng minh rằng P,Q,G thẳng hàng.
Bài toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H. EF là dây cung của (O). Tia đối tia HE,HF cắt đường tròn Euler (N) của tam giác ABC tại P,Q. Gọi FP cắt EQ tại X. Chứng minh rằng bốn điểm E,F,P,Q thuộc một đường tròn (D) và XD luôn đi qua một điểm cố định khi dây EF thay đổi.
Bài toán 10. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định với B,C cố định và A di chuyển trên (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại T. M là trung điểm BC. Đường thẳng qua T vuông góc AM cắt CA,AB tại E,F. BE cắt CF tại D. Chứng minh rằng đường thẳng qua A vuông góc TD luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi.
Bài toán 11. Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ. Gọi Oa,Ia,Ja lần lượt là tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp đỉnh P của tam giác PBC. Tương tự có Ob,Ib,Ic,Oc,Ic,Jc. Gọi da là đường thẳng nối tâm ngoại hai tam giác PIcJb và PIbJc. Tương tự có db,dc. Chứng minh rằng da,db,dc cắt nhau tạo thành tam giác thấu xạ với tam giác OaObOc.
Bài toán 12. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Đường thẳng qua I vuông góc IA cắt CA,AB tại A1,A2. Ab,Ac lần lượt đối xứng C,B qua A1,A2.
a) Chứng minh rằng AbAc tiếp xúc (I) tại Aa.
b) Tương tự có Bb,Cc. AD,BE,CF đồng quy tại Ge. Chứng minh rằng AAa,BBb,CCc đồng quy trên IGe.
Bài toán 13. Cho tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F và AC cắt BD tại G. Gọi AC,BD cắt EF tại P,Q. Chứng minh rằng điểm Miquel của tứ giác ABCD nằm trên đường tròn Euler của tam giác GPQ.
Bài toán 14. Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại E. Giả sử
EA.EB.CD+EC.ED.AB=EA.ED.BC+EB.EC.AD.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD ngoại tiếp.
Bài toán 15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I. Đường tròn (K) tiếp xúc CA,AB tại E,F và tiếp xúc trong (O) tại D. Gọi IB,IC cắt (O) tại M,N khác B,C. L là trung điểm AD. LM,LN lần lượt cắt trung trực AE,AF tại P,Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua I vuông góc ID chia đôi PQ.
Bài toán 16. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (K) tiếp xúc CA,AB tại E,F và tiếp xúc trong (O) tại D. AD cắt (K) tại L khác D. Tiếp tuyến tại L của (K) cắt (O) tại M,N. Gọi P là tâm nội tiếp tam giác DMN. Chứng minh rằng ∠DEP+∠DFP=90∘.
Bài toán 17. Cho tam giác ABC, một đường tròn (K) đi qua B,C cắt đoạn CA,AB tại E,F. BE cắt CF tại H. P thuộc đoạn EF sao cho ∠PAB=∠HAC. Gọi M,N là trung điểm BE,CF. PM,PN lần lượt cắt AB,AC tại K,L. Chứng minh rằng EF chia đôi KL.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 11-01-2016 - 18:12
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
