Chứng minh rằng: $\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq \left ( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x} \right )^{2}\geq 6\sqrt{3}$
với $\forall x,y,z>0;xy+yz+zx=1$
$\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq \left ( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x} \right )^{2}\geq 6\sqrt{3}$
Bắt đầu bởi Tran Thanh Truong, 08-01-2016 - 21:33
#1
Đã gửi 08-01-2016 - 21:33
Tran Thanh Truong
-
- Thành viên
-
- 143 Bài viết
Trung sĩ
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
#2
Đã gửi 09-01-2016 - 12:11
quanganhthanhhoa
-
- Thành viên
-
- 34 Bài viết
Binh nhất
Chứng minh rằng: $\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq \left ( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x} \right )^{2}\geq 6\sqrt{3}$
với $\forall x,y,z>0;xy+yz+zx=1$
Áp dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz và Minkopxki ta có:
$( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x})^{2}=2(x+y+z+\sum \sqrt{(x+y)(y+z)})\geq 2(\sqrt{3(xy+yz+zx)}+\sum \sqrt{x^{2}+1})=2(\sqrt{3}+\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}})\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{(x+y+z)^{2}+3(\sqrt{3})^{2}}\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{3(xy+yz+zx)+9}=2\sqrt{3}+2\sqrt{12}=6\sqrt{3}\rightarrow \square $
Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
- Tran Thanh Truong yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
