Đến nội dung

Hình ảnh

\[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
quynhquynh

quynhquynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR: \[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]

 


#2
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR: \[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]

BĐT tương đương: $\sum a(\frac{a^{2}+bc}{b+c}-a)\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{a(a-b)(a-c)}{b+c}\geq 0$

Quy đồng mẫu: $\sum a(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})\geq 0\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})[a(a^{2}-c^{2})-b(b^{2}-c^{2})]+c(c^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})\geq 0$ $(1)$

Vì tính đối xứng của BĐT ta có thể giả sử $a\geq b\geq c$, khi đó BĐT $(1)$ luôn đúng, kết thúc chứng minh!


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#3
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết

Hễ gặp bài này là y như rằng thấy cách giải này,1 cách khác:

Bất đẳng thức tương đương :$\sum (\frac{a^{3}+abc}{b+c}-\frac{b^{2}+c^{2}}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}\frac{a^{2}+b^{2}+ab-c^{2}}{(b+c)(a+c)}\geq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c$
Ta cần chứng minh $(a-b)^{2}(\frac{a^{2}+b^{2}+ab-c^{2}}{(b+c)(a+c)}+\frac{a^{2}+c^{2}+ac-b^{2}}{(a+b)(b+c)})+(b-c)^{2}(\frac{a^{2}+c^{2}+ac-b^{2}}{(a+b)(b+c)}+\frac{b^{2}+c^{2}+bc-a^{2}}{(a+b)(a+c)})\geq 0$
Mà $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a^{2}+b^{2}+ab-c^{2}}{(b+c)(a+c)}\geq 0$, $\frac{a^{2}+c^{2}+ac-b^{2}}{(a+b)(b+c)}\geq 0$
Ta cũng có $\frac{a^{2}+c^{2}+ac-b^{2}}{(a+b)(b+c)}+\frac{b^{2}+c^{2}+bc-a^{2}}{(a+b)(a+c)}=\frac{2c^{3}+(a+b)(a-b)^{2}+2ac^{2}+2bc^{2}+a^{2}c+b^{2}c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$(luôn đúng theo giả sử )


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải. Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

Ta có: $VT-VP=\frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2-c^2)}{(b+c)(c+a)}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a+b}\geqslant 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 14:41

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh