Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR: \[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]
\[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]
#1
Đã gửi 09-01-2016 - 07:13
#2
Đã gửi 09-01-2016 - 16:43
Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR: \[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]
BĐT tương đương: $\sum a(\frac{a^{2}+bc}{b+c}-a)\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{a(a-b)(a-c)}{b+c}\geq 0$
Quy đồng mẫu: $\sum a(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})\geq 0\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})[a(a^{2}-c^{2})-b(b^{2}-c^{2})]+c(c^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})\geq 0$ $(1)$
Vì tính đối xứng của BĐT ta có thể giả sử $a\geq b\geq c$, khi đó BĐT $(1)$ luôn đúng, kết thúc chứng minh!
- quynhquynh và nguyenquangvuong99 thích
#3
Đã gửi 09-01-2016 - 20:46
Hễ gặp bài này là y như rằng thấy cách giải này,1 cách khác:
- tpdtthltvp, quynhquynh và nguyenquangvuong99 thích
#4
Đã gửi 17-05-2021 - 14:41
Lời giải. Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$
Ta có: $VT-VP=\frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2-c^2)}{(b+c)(c+a)}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a+b}\geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 14:41
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh