Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 34 Bình chọn

Topic về phương trình và hệ phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1252 trả lời

#1 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 11-01-2016 - 20:53

*
Phổ biến

Chào các bạn!

Trong không khí nô nức chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, ở lớp 10 nói riêng, bài tập chủ yếu ở các dạng bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, phương trình đường tròn,v..v.. Về phần bất đẳng thức đã có nhiều topic đề cập đến, riêng phần phương trình và hệ thì số lượng bài tập khá đa dạng và nắm vai trò không nhỏ (thường gặp ở những câu đầu tiên và chiếm nhiều điểm). Vì thế hôm nay, mình xin phép mở một topic để mọi người bàn về dạng bài tập này để củng cố kiến thức cho bản thân được tốt hơn nói riêng cũng như các bạn nói chung. Trong quá trình làm việc và viết bài thì không khỏi tránh sai sót cũng như bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm, rất mong bạn bè gần xa thông cảm và ủng hộ để topic thật phát triển. Mình xin gửi đến lời cảm ơn chân thành nhất.

Nội quy:

- Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài (tránh làm nhão topic).

- Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
- Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
- Không spam, lạc đề.

Một số phương pháp giải (tài liệu do mình và bạn NTA1907 sưu tầm):

*  Phương pháp đổi biến:

I) Phương trình đẳng cấp: $aP(x) + bQ(x) = c\sqrt{P(x).Q(x)}$    (1)

Phương pháp: Đặt $u = \sqrt{P(x)}$, $v = \sqrt{Q(x)}$       (u, v >= 0)

                  $(1) \Leftrightarrow  au^{2} + bv^{2} = c.u.v$    (2)

                  Nhận xét: v = 0 là nghiệm của (2) ?

                  $(2) \Leftrightarrow  a(\dfrac{u}{v})^{2} +  b - c.\dfrac{u}{v} = 0$

* Phương pháp nhân liên hợp:

II) Nghiệm vô tỉ

Sử dụng: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

            $(\sqrt[3]{a} \underline{+} \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}} \overline{+} \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}) = a \underline{+} b$

*  Dạng phương trình: $\sqrt[3]{A(x)} \pm  \sqrt[3]{B(x)} = \sqrt[3]{C(x)}$

Phương pháp: Lập phương hai vế.

* Dạng phương trình: $a^{2} + bx + c = \sqrt{px^{2} + qx + r} (a.p \neq  0)$

Phương pháp:

         TH1: $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}$. Đặt $t = \sqrt{px^{2} + qx + r}$.

                Đưa về dạng phương trình bậc 2.

         TH2: $\left\{\begin{matrix} p = -b & & & \\ q = \dfrac{1 - b^{2}}{a} & & & \\ r = \dfrac{-c(1 + b)}{a} & & &\end{matrix}\right.$

                Đặt $t = ax^{2} + bx + c$ rồi đưa về hệ đối xứng loại 2

Phương pháp nâng lên luỹ thừa 2 vế:

Dạng 1: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&f(x)=g(x) \\&f(x)\geq 0(hoặc g(x)\geq 0)\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2x+4}=\sqrt{2-x}$(1)

(1)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+2x+4=2-x \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+3x+2=0 \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn) hoặc $x=-2$(thoả mãn)

Dạng 2: $\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0 \\&f(x)=g(x)^{2}\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2$(2)

(2)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&4+2x-x^{2}=x-2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-x-6=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-2$(không thoả mãn) hoặc $x=3$(thoả mãn)

Dạng 3: $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+\sqrt{h(x)}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0  & \\&h(x)\geq 0  & \\&f(x)=g(x)+h(x)+2\sqrt{g(x).h(x)}  &\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1$(3)

(3)$\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&3x+1=1+2\sqrt{x+4}+x+4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&x-2=\sqrt{x+4}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-5x=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=0$(không thoả mãn) hoặc $x=5$(thoả mãn)

Chú ý: Các dạng nâng lên luỹ thừa bậc chẵn và lẻ thì làm tương tự như trên, riêng bậc lẻ thì không cần điều kiện.

*Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: $(ax+b)^{n}=p.\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}+qx+r$

+)$p.a^{'}> 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=at+b$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

+)$p.a^{'}< 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=-(at+b)$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

VD:$4x^{2}+\sqrt{3x+1}+5=13x$(1)

Đk: $x\geq \dfrac{-1}{3}$

(1)$\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=-\sqrt{3x+1}+x+4$

Đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-3)(y\leq \dfrac{3}{2})$

Ta được hệ:$\left\{\begin{matrix}&(2x-3)^{2}=2y+x+1 \\&(2y-3)^{2}=3x+1\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$4(x^{2}-y^{2})-12(x-y)=2(y-x)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y-5)=0$

+) $x=y\Rightarrow (2x-3)^{2}=3x+1$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{15+\sqrt{97}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{15-\sqrt{97}}{8}$(thoả mãn)

+) $2y=5-2x\Rightarrow (2x-3)^{2}=5-2x+x+1$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-11x+3=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{11-\sqrt{73}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{11+\sqrt{73}}{8}$(thoả mãn)

Dạng 2: $\alpha .P(x)+\beta .Q(x)=\gamma .\sqrt{P(x).Q(x)}$

+)$P(x)=0\Rightarrow$ Thay vào phương trình

+)$P(x)\neq 0$, ta được: $\alpha +\beta .\dfrac{Q(x)}{P(x)}=\gamma .\sqrt{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}$

VD: Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}(2)$

Đk: $x\geq 1$

(2)$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$\Leftrightarrow 3.\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}+2=7\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}=t\geq 0$

Khi đó ta có: $3t^{2}-7t+2=0$

$\Leftrightarrow t=2$ hoặc $t=\dfrac{1}{3}$

+)$t=2\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow 4x^{2}+3x+5=0$(vô nghiệm)

+)$t=\frac{1}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4+\sqrt{6}$(thoả mãn) hoặc $x=4-\sqrt{6}$(thoả mãn)

Dạng 3: $\alpha (P(x)+Q(x))+\beta (\sqrt{P(x)}+\sqrt{Q(x)})\pm 2\alpha \sqrt{P(x)+Q(x)}+\gamma =0$

(trong đó $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ và $\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0$)

Đặt $t=\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}$, ta được phương trình: $At^{2}+Bt+C=0$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$(2)

Đk: $x\geq 2$

(2)$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=2x-2-2\sqrt{x^{2}-4}$

Đặt $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=t\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}=2x-2\sqrt{x^{2}-4}$

$\Rightarrow t=t^{2}-2$

$\Leftrightarrow t=-1$(không thoả mãn) hoặc $t=2$(thoả mãn)

$t=2\Rightarrow \sqrt{x+2}=2+\sqrt{x-2}

\Rightarrow x+2=x+2+4\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow x=2$(thoả mãn)

Dạng 4: $ax^{2}+bx+c=\sqrt{px^{2}+qx+r}$

+)$\dfrac{a}{p}=\dfrac{b}{q}$, đặt $t=\sqrt{px^{2}+qx+r}$, đưa về phương trình bậc 2: $At^{2}+Bt+C=0$

+)$\left\{\begin{matrix}&p=-b  & \\&q=\dfrac{1-b^{2}}{a}  & \\&r=\dfrac{-c(1+b)}{a}  &\end{matrix}\right.$

Đặt $t=ax^{2}+bx+c$, ta được hệ phương trình đối xứng loại 2

VD: Giải phương trình: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

Đk: $98-35x-6x^{2}\geq 0$

Đặt $x^{2}+6x-14=t\geq 0$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}&x^{2}+6x-14=t \\&t^{2}+6t-14=x\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$t-x=x^{2}-t^{2}+6(x-t)$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t+7)=0$

+)$x=t\Rightarrow x^{2}+6x-14=x$

$\Leftrightarrow x=-7$(không thoả mãn) hoặc $x=2$(thoả mãn)

+)$x+t=-7\Rightarrow x^{2}+7x-7=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{-7-\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn)

*Phương pháp liên hợp:

Sử dụng: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$

             $(\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})=a\mp b$

*  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

Một số bất đẳng thức căn bản:

   - $|A|=|-A| \geq 0$. Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow A=0$

   - $|A| \geq A$. Dấu bằng xảy ra khi $\Leftrightarrow A \geq 0$

   - $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$

   - $|a|\geq a\forall a$. Dấu "=" có khi: $a\geq 0$

   - $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" có khi: $ab\geq 0$

   - $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu "=" có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$

   - $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq (\dfrac{(a+b)}{2})^{2}$. Dấu "=" có khi: $a=-b$

   - $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2(ab> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

   Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ ta luôn có $\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$.

   Dấu "=" khi và chỉ khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):

   Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$) ta luôn có:

          $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

   Dấu "=" có khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$

Bất đẳng thức Svac-xo

   Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có: $\dfrac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

Bất đẳng thức Minkopsky:

   Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

   $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$

   Dấu "=" xảy ra khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$.

...

Trên đây là một số phương pháp mình nêu ra để mọi người cùng tham khảo.

 

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+1}(3x^{2}+x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x$

b) $3 - x =\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Bài 2: Giải phương trình sau:

$\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

 

Lưu ý: Trong quá trình làm việc, có một số thành viên đã đóng góp cho topic những tài liệu quan trọng và rất bổ ích, lý thú, thay mặt các mem trong topic, mình xin chân thành cảm ơn các bạn rất nhiều. Sau đây là một số tài liệu về phương trình mà các bạn đã đóng góp nói trên cũng như mình đã sưu tầm được trong thời gian qua!

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-02-2016 - 21:29

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#2 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 11-01-2016 - 21:50

Bài 2: Giải phương trình sau:

$\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

Mình xin chém bài 2 trước.

ĐK: $2-x^{2}\geq 0, 2-\frac{1}{x^{2}}\geq 0$
Pt$\Leftrightarrow (\sqrt{2-x^{2}}+x)+(\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+x)=4$
Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
$(\sqrt{2-x^{2}}+x)^{2}\leq 2(2-x^{2}+x^{2})=4$
$\Rightarrow \sqrt{2-x^{2}}+x\leq 2$
Tương tự: $\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 2$
Cộng 2 bđt lại ta dc: $VT\leq VP$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=1$(TM)

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 11-01-2016 - 22:00

 

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x + 1}(3x^{2} + x + 1) = x^{3} + 3x^{2} + 3x$

b) $3-x=\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Load lại latex


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 11-01-2016 - 22:23


#4 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 11-01-2016 - 22:17

2. 

 

Bài 1: a; ĐK: $x \geq -1$

 

Đặt $\sqrt{x+1}=a$

 

$\iff a(3x^2+a^2)=x^3+3xa^2$

 

$\iff x^3-3ax^2+3xa^2-a^3=0$

 

$\iff (x-a)^3=0$

 

$\iff x=a$

 

$\iff x=\sqrt{x+1}$

 

Đến đây bình phương là ra kết quả. 


Don't care


#5 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 11-01-2016 - 22:37

b) $3-x=\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có:

PT $\leftrightarrow 3-x=\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1}$

      $\rightarrow (3-x)^{2}=(\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1})^{2}$

Đặt $\sqrt{2x^{2}-6x+16}=a;\sqrt{3x-1}=b$

Ta có PT $\leftrightarrow \frac{1}{2}a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}$

                $\leftrightarrow \frac{1}{2}a^{2}+2b^{2}-2ab=0$

                $\leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}b)^{2}=0$

$\rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}b$

$\leftrightarrow a=2b$

$\leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-6x+16}=2\sqrt{3x-1}$

$\leftrightarrow 2x^{2}-6x+16=12x-4$

$\leftrightarrow 2x^{2}-18x+20=0$

$\leftrightarrow x=\frac{9-\sqrt{41}}{2}$ hoặc $x=\frac{9+\sqrt{41}}{2}$

 Thử lại ta có $x=\frac{9-\sqrt{41}}{2}$ là nghiệm của phương trình



#6 robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Đã gửi 12-01-2016 - 00:53

đóng góp:

3/ giải hệ :
$\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}$
$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{y}$


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 


#7 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 12-01-2016 - 11:10

đóng góp:

3/ giải hệ :
$\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}$
$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{y}$

Bài này cũng khá đơn giản thôi, nhìn qua hệ ta có thể suy ra từ phương trình $(1)$ để đưa ra mối quan hệ của $x$ và $y$ rồi thế vào hệ $(2)$

ĐKXĐ: $x\geq 0,y\geqslant 0$

Ta có: $\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{x^2-xy+y^2}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-xy+y^{2}-y^{2}}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=-(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt{x}=\sqrt{y} &  & \\ \dfrac{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+1=0(*) &  & \end{bmatrix}$

Hệ $(*)$ vô nghiệm vì $x,y$ luôn dương, từ đó suy ra $x=y$ rồi chỉ việc thế vào $(2)$

Công việc đến đây đã nghẹ hơn hẳn  :lol:

 

Bài 4: Giải phương trình: 

a) $\sqrt{8+x^{3}}+\sqrt{64-x^{3}}=x^{4}-8x^{2}+28$

b) $(x+1)\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}(x+6)=x^{2}+7x+12$

Bài 5: Giải phương trình sau:

 $\sqrt[3]{81x-8}=x^{3}-2x^{2}+\dfrac{4}{3}-2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 12-01-2016 - 11:22

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#8 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 12-01-2016 - 12:30

Bài 4: Giải phương trình: 

a) $\sqrt{8+x^{3}}+\sqrt{64-x^{3}}=x^{4}-8x^{2}+28$

 

ĐK: $-2 \leq x \leq 4$

 

$1.\sqrt{8+x^3}+1.\sqrt{64-x^3} \leq \sqrt{(1^2+1^2)(8+x^3+64-x^3)}=12$

 

Mặt khác: $x^2-8x+28 = (x-4)^2+12 \geq 12$

 

Dấu "=" xảy ra khi: $x=4$ và $8+x^3=64-x^3$ (vô nghiệm vì 2 điều này không xảy ra đồng thời)

 

Vậy pt vô nghiệm


Don't care


#9 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 12-01-2016 - 12:55

 

 

Bài 4: Giải phương trình: 

b) $(x+1)\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}(x+6)=x^{2}+7x+12$

 

Tiếp

 

ĐK: $x+2 \geq 0$

 

PT $\iff 2(x^2+7x+12)-2(x+1)\sqrt{x+2}-2(x+6)\sqrt{x+7}=0$

 

$\iff (x-2)+[(x^2+3x+2)-2(x+1)\sqrt{x+2}]+[(x^2+10x+24-2(x+6)\sqrt{x+7}]=0$

 

$\iff (x-2)+(x+1)(x+2-2\sqrt{x+2})+(x+6)(x+4-2\sqrt{x+7})=0$

 

$\iff (x-2)+\dfrac{(x-2)(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x-2)(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}}=0$

 

$\iff (x-2)(1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}})=0$

 

$\iff x=2$   v   $1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}}=0$

 

Xét $1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}=\dfrac{x+2+2\sqrt{x+2}+(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}=\dfrac{(x+2)^2+2\sqrt{x+2}}{x+2+2\sqrt{x+2}} >0$

 

Vậy $1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}} > 0$

 

Vậy nghiệm pt $x=2$


Don't care


#10 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 12-01-2016 - 15:16

Bài 6: Giải HPT sau:

$\begin{cases}& (1-y)(x-3y+3)-x^{2}=\sqrt{x}.\sqrt{(y-1)^{3}} \\ & \sqrt{x^{2}-y}+2\sqrt[3]{x^{3}-4}=2(y-2) \end{cases}$

Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#11 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 12-01-2016 - 15:21

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có:

PT $\leftrightarrow 3-x=\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1}$

      $\rightarrow (3-x)^{2}=(\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1})^{2}$

Đặt $\sqrt{2x^{2}-6x+16}=a;\sqrt{3x-1}=b$

Ta có PT $\leftrightarrow \frac{1}{2}a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}$

                $\leftrightarrow \frac{1}{2}a^{2}+2b^{2}-2ab=0$

                $\leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}b)^{2}=0$

$\rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}b$

$\leftrightarrow a=2b$

$\leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-6x+16}=2\sqrt{3x-1}$

$\leftrightarrow 2x^{2}-6x+16=12x-4$

$\leftrightarrow 2x^{2}-18x+20=0$

$\leftrightarrow x=\frac{9-\sqrt{41}}{2}$ hoặc $x=\frac{9+\sqrt{41}}{2}$

 Thử lại ta có $x=\frac{9-\sqrt{41}}{2}$ là nghiệm của phương trình

Cách khác nè:

Tới đoạn $3-x=\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1}$

$\Rightarrow (3-x)+\sqrt{3x-1}=\sqrt{2x^{2}-6x+16}$

Đặt $a=3-x, b=\sqrt{3x-1}$ thay vào ta được:

$a+b=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Dễ thấy từ BĐT Cauchy ta được $a=b$........


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#12 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 12-01-2016 - 15:27

Bài 7: Giải HPT:
$\begin{cases}& x^{3}-x^{2}y-y=2x^{2}-x+2 \\ & y^{2}+4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}= 2x^{2}-4x+12\end{cases}$

Bài 8: Giải HPT:

$\begin{cases}& 3x^{2}+12y^{2}+24xy-9(x+2y)\sqrt{2xy}=0 \\ & 5x^{2}-7y^{2}+xy=15\end{cases}$


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#13 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 12-01-2016 - 17:01

 

Bài 6: Giải HPT sau:

$\begin{cases}& (1-y)(x-3y+3)-x^{2}=\sqrt{x}.\sqrt{(y-1)^{3}} \\ & \sqrt{x^{2}-y}+2\sqrt[3]{x^{3}-4}=2(y-2) \end{cases}$

 

Bài này cũng tương tự như Bài 3 thôi, 

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow x(1-ý)+3(1-ý)^{2}-x^{2}=\sqrt{(ý-1)^{3}}.\sqrt{x}$

Đặt $x=a;y-1=b$ (a,b>=0) có: 

$3b^{2}-ab-a^{2}= \sqrt{b^{3}a}\Leftrightarrow (2b+a)(b-a)+b\sqrt{b}.\frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}= 0$

$\Leftrightarrow (b-a)(2b+a+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{a}})= 0$

$\Leftrightarrow b=a\Rightarrow y-1=x$

Đến đây chỉ việc thế vào $(2)$ là xong  :lol:

 

p/s: Rất mong được sự hưởng ứng của các ''mem'' để topic được phát triển ạ  ^_^ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 12-01-2016 - 17:05

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#14 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 12-01-2016 - 17:55

Bài 7: Giải HPT:
$\begin{cases}& x^{3}-x^{2}y-y=2x^{2}-x+2 \\ & y^{2}+4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}= 2x^{2}-4x+12\end{cases}$

 

ĐK: $-4 \leq x \leq \dfrac{16}{3}$

 

(1) $\iff (x^2+1)(x-y-2)=0 \iff x=y+2$

 

(2) $\iff 4\sqrt{y+4}+\sqrt{16-3x}=y^2+4y+12$

 

$\iff 3(y^2+4y+12)-12\sqrt{y+4}-4\sqrt{16-3y}=0$

 

$\iff 3(y^2+x)+(4y+24-12\sqrt{y+4})+(12-y-\sqrt{16-3y})=0$

 

$\iff 3(y^2+3y)+\dfrac{16(y^2+3y)}{4y+24+12\sqrt{y+4}}+\dfrac{y^2+3y}{12-y+\sqrt{16-3y}}=0$ (vì $12-y >0$)

 

$\iff y(y+3)(3+\dfrac{16}{4y+24+12\sqrt{y+4}}+\dfrac{1}{12-y+\sqrt{16-3y}})=0$

 

$\iff y=0$  v  $y=-3$

 

$\iff x=2$  v  $x=-1$

 

Vậy $(x;y)=(2;0) ; (-1;3)$


Don't care


#15 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 12-01-2016 - 18:36

Bài 8: Giải HPT:

$\begin{cases}& 3x^{2}+12y^{2}+24xy-9(x+2y)\sqrt{2xy}=0 \\ & 5x^{2}-7y^{2}+xy=15\end{cases}$

 

ĐK: $xy \geq 0$

 

(1) $\iff 3(x^2+4xy+4y^2)-9(x+2y)\sqrt{2xy}+12xy=0$

 

$\iff 3(x+2y)^2-9(x+2y)\sqrt{2xy}+12xy=0$

 

$\iff (x+2y-2\sqrt{2xy})(x+2y-\sqrt{2xy})=0$

 

$\iff (\sqrt{x}-\sqrt{2y})^2(x+2y-\sqrt{2y})=0$

 

$\iff x=2y$ (vì $x+2y-\sqrt{2y} >0$)

 

Thay vào pt (2): 

 

$\iff15y^2=15$

 

$\iff y=1$ v $y=-1$

 

$\iff x=2$  v $x=-2$

 

Vậy nghiệm hệ $(x;y)=(2;1); (-2;-1)$


Don't care


#16 robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Đã gửi 12-01-2016 - 20:35

Bài này cũng khá đơn giản thôi, nhìn qua hệ ta có thể suy ra từ phương trình $(1)$ để đưa ra mối quan hệ của $x$ và $y$ rồi thế vào hệ $(2)$

ĐKXĐ: $x\geq 0,y\geqslant 0$

Ta có: $\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{x^2-xy+y^2}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-xy+y^{2}-y^{2}}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=-(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt{x}=\sqrt{y} &  & \\ \dfrac{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+1=0(*) &  & \end{bmatrix}$

Hệ $(*)$ vô nghiệm vì $x,y$ luôn dương, từ đó suy ra $x=y$ rồi chỉ việc thế vào $(2)$

Công việc đến đây đã nghẹ hơn hẳn  :lol:

 

 

đúng là rất dễ dàng cho ta tìm ra mối quan hệ x=y ngay ở ptr đầu. nhưng hãy làm nốt vế sau khi đã thay x=y vào ptr sau, điều quan trọng là đây,1 nghiệm thực và 1 nghiệm vô tỉ. và làm sao để bài giải dc đẹp,gọn. thân  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 


#17 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 12-01-2016 - 21:24

đúng là rất dễ dàng cho ta tìm ra mối quan hệ x=y ngay ở ptr đầu. nhưng hãy làm nốt vế sau khi đã thay x=y vào ptr sau, điều quan trọng là đây,1 nghiệm thực và 1 nghiệm vô tỉ. và làm sao để bài giải dc đẹp,gọn. thân  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

Bạn nhìn kĩ nhé, nếu ta thế vào $(2)$ thì phương trình đã cho trở thành phương trình chứa 3 dấu căn, như thế cách làm sẽ là:

Ta có:

$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5x^{2}+4x}=5\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-3x-18}$

$\Leftrightarrow 5x^{2}+4x=25x+x^{2}-3x-18+10\sqrt{x(x-6)(x+3)}$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-18x+18=10\sqrt{(x^{2}-6x)(x+3)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}-6x}=a, \sqrt{x+3}=b(a,b\geq 0)$

Phương trình trên trở thành:

$4a^{2}+6b^{2}=10ab$

Đến đây nó đã trở thành phương trình đẳng cấp  :mellow:


					
					

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#18 magicdell1

magicdell1

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 12-01-2016 - 21:31

Bài 8 :  $\left\{\begin{matrix} xy +x^{2}=2 \\ 2x^{2}-y^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi magicdell1: 13-01-2016 - 13:12


#19 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 12-01-2016 - 21:31

Rất mong các bạn đăng thêm đề để chúng ta cùng làm!

Bài 9: Giải phương trình:

$$\sqrt[3]{x-9}+2x^{2}+3x=\sqrt{5x-1}+1$$

Bài 10* : Giải phương trình sau:

$$\sqrt{x^{3}-2x^{2}+x-2}+(x+1)\sqrt{x^{3}+x^{2}-x-2}=2(x^{2}+x-1)$$



					
					

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#20 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 12-01-2016 - 21:48

Bài 11: Giải PT: $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3}{2}x-3$

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

Bài 13: Giải HPT: $\begin{cases}& \sqrt{12-2x^{2}}= 4+y\\ & \sqrt{1-2y-y^{2}}=5-2x \end{cases}$

Bài 14: Giải PT: $(x-1)(2\sqrt{x-1}+3\sqrt[3]{x+6})=x+6$


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh