Chủ đề này có 1255 trả lời

[PlanBbyFESN]

 

Bổ sung thêm các bài tập các bạn chưa giải được trong topic

bài 151 b)$$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$$

 

 

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}-1+\sqrt{x-x^{2}+1}-1-x^{2}+x=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+x(1-x)=0$

 

$\Leftrightarrow x(\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1-x}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1-x)=0)$

 

$x=0$..........

 

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1-x}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1-x=0\Leftrightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+(1-x)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1)=0$

 

Do  $x-x^{2}+1\geq 0\Rightarrow x\in \left [ \frac{\sqrt{5}-1}{2};\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right ]$

 

Nếu $x\leq 1$ thì hiển nhiên đúng

 

Còn nếu $x\leq \frac{\sqrt{5}+1}{2}\Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}< (x-1)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1)$

..............................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 16-02-2016 - 22:33

[Kira Tatsuya]

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{x^{2}+x+1+x-x^{2}+1}{2}=x+1$

 

$\Rightarrow x+1\geq x^{2}-x+2\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2}\Leftrightarrow x=1$

 

Thay vào: $x=1$ không thỏa mãn nên PTVN

x=0 là nghiệm đấy, đánh giá cái trên như sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 16-02-2016 - 21:59

[NguyenPhuongQuynh]

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{x^{2}+x+1+x-x^{2}+1}{2}=x+1$

 

$\Rightarrow x+1\geq x^{2}-x+2\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2}\Leftrightarrow x=1$

 

Thay vào: $x=1$ không thỏa mãn nên PTVN

bạn làm thế sai rồi . bạn áp dụng bất đẳng thức sai. với lại phương trình có nghiệm bằng 0 mà

[meomunsociu]

Bài 231: $\begin{cases} & (4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ & 4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3-4x}= 7 \end{cases}$

ĐKXĐ: $x\leq \frac{3}{4};y\leq \frac{5}{2}$

pt(1) $\Leftrightarrow 4x^3+x=(3-y)\sqrt{5-2y}$

$\Leftrightarrow 8x^3+2x=(6-2y)\sqrt{5-2y}$

$\Leftrightarrow (2x)^3+2x=(\sqrt{5-2y})^3+\sqrt{5-2y}$

.........$\Rightarrow 2x=\sqrt{5-2y}$

Đến đây thay vào pt(2) giải ra x,y.......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 16-02-2016 - 22:24

[PlanBbyFESN]

x=0 là nghiệm đấy, đánh giá cái trên như sai

 

bạn làm thế sai rồi . bạn áp dụng bất đẳng thức sai. với lại phương trình có nghiệm bằng 0 mà

 

À xin lỗi, đã sửa ở trên, copy lại như sau:

---------------------------------------------------------------------

 

Bổ sung thêm các bài tập các bạn chưa giải được trong topic

bài 151 b)$$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$$

 

 

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}-1+\sqrt{x-x^{2}+1}-1-x^{2}+x=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+x(1-x)=0$

 

$\Leftrightarrow x(\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1-x}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1-x)=0)$

 

$x=0$..........

 

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1-x}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1-x=0\Leftrightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+(1-x)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1)=0$

 

Do  $x-x^{2}+1\geq 0\Rightarrow x\in \left [ \frac{\sqrt{5}-1}{2};\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right ]$

 

Nếu $x\leq 1$ thì hiển nhiên đúng 

 

Còn nếu $x\leq \frac{\sqrt{5}+1}{2}\Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}< (x-1)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1)$

 

(Nhân mẫu VT lên: $2x<(x-1)(1+\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}+1)$)

 

$\Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}-(1-x)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}+1}+1}+1)< 0$

..............................

 

 

P/S: Đang vui vì 1 chuyện nên thấy bài cái giải luôn không đọc kĩ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 16-02-2016 - 22:36

[anhquannbk]

$(1) \leftrightarrow (6x\sqrt{y}+9y\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+\sqrt{y})=0$

 

$\leftrightarrow 6x\sqrt{y}+9y\sqrt{x}=1$

 

$\leftrightarrow 2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=\dfrac{2}{6\sqrt{xy}}$

 

Đặt $2\sqrt{x}=a; 3\sqrt{y}=b \leftrightarrow a+b=\dfrac{2}{ab}$

 

Thay vào PT thứ 2 ta có: $\dfrac{1}{a^2b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ab}{3}+ab^2=\dfrac{10}{3}$

 

Đến đây mình nghĩ dùng phương pháp đánh giá cho phương trình trên vì $a,b >0$, điểm rơi là $a=b=1$, nhưng mình không thực hiện tiếp được, bạn nào có tưởng tiếp cho PT này k? 

 Từ pt(1) ta suy ra $ (6x\sqrt{y}+9y\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+\sqrt{y})=0 $ suy ra $ 6x\sqrt{y}+9y\sqrt{x}=1 $

suy ra $ 2= 12x\sqrt{y}+18y\sqrt{x} $

Ta biến đổi phương trình (2) như sau:

$ \frac{1}{12x\sqrt{y}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{10}{3}-2\sqrt{xy}-18y\sqrt{x} $

$ \longleftrightarrow \dfrac{6\sqrt{xy}}{3}+4x.\dfrac{1}{6\sqrt{xy}}+2\sqrt{x}.9y+3\sqrt{y}.\dfrac{1}{36xy}=\dfrac{10}{3} $

$ \longleftrightarrow \dfrac{6\sqrt{xy}}{1+2}+4x.\dfrac{1}{6\sqrt{xy}}+2\sqrt{x}.9y+3\sqrt{y}.\dfrac{1}{36xy} =\dfrac{10}{3}$

$ \longleftrightarrow \dfrac{6\sqrt{xy}}{1+12x\sqrt{y}+18y\sqrt{x}}+4x.\dfrac{1}{6\sqrt{xy}}+2\sqrt{x}.9y+3\sqrt{y}.\dfrac{1}{36xy}=\dfrac{10}{3} $

$ \longleftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{6\sqrt{xy}}+2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}+4x.\dfrac{1}{6\sqrt{xy}}+2\sqrt{x}.9y+3\sqrt{y}.\dfrac{1}{36xy}=\dfrac{10}{3} $

Đặt $ a=2\sqrt{x} , b=3\sqrt{y}, c=\dfrac{1}{6\sqrt{xy}}$ ta có $ abc=1 $

Ta được pt $ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{10}{3} $

Áp dụng BĐT $ AM-GM $ ta có:

$ ab^{2}+ab^{2}+bc^{2} \ge 3\sqrt[3]{a^{2}b^{5}c^{2}} =3b $

$ bc^{2}+bc^{2}+ca^{2} \ge 3\sqrt[3]{b^{2}c^{5}a^{2}} =3c $

 $ ca^{2}+ca^{2}+ab^{2} \ge 3\sqrt[3]{b^{2}a^{5}c^{2}} =3a $

Suy ra $ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \ge a+b+c $

$ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+\dfrac{1}{a+b+c} \ge a+b+c + \dfrac{1}{a+b+c} $

Ta chỉ cần chứng minh $ a+b+c + \dfrac{1}{a+b+c}\ge\dfrac{10}{3}  $ với $ abc=1 $ hay $ t+\dfrac{1}{t} \ge \dfrac{10}{3} $ ( $ t=a+b+c $)

 tương đương với $ (t-3)(3t-1) \ge 0$ đúng vì $ a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3 $

suy ra $ a=b=c=1 $ hay $ 2\sqrt{x}=3\sqrt{y}=1 $ suy ra $ x=\dfrac{1}{4}, y=\dfrac{1}{9} $

Nghiệm $ (x;y)=(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 16-02-2016 - 22:37

[meomunsociu]

Bài 234: $\begin{cases} & 8x^{3}+4(2x-1)=13x^{2}+(y+1)(5y+7) \\ & x^{2}-y^{2}=y^{3}+y+1 \end{cases}$

 

Giải:

pt(1)$\Leftrightarrow 8x^3+8x-13x^2-4=5y^2+12y+7$

$\Leftrightarrow (8x^3-12x^2+6x-1)+(2x-1)=x^2+5y^2+12y+9$

$\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=(x^2-y^2)+6y^2+12y+9$

$\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=y^3+6y^2+13y+10$ (thế pt(2))

$\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=(y+2)^3+(y+2)$

.......$\rightarrow 2x-1=y+2 \Leftrightarrow 2x=y+3$

Đến đây dễ rồi 

[minhminh98]

$\frac{9}{3\sqrt{x-1}+6}-1-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}=0$

[leminhnghiatt]

Bài 229: $\begin{cases} & \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ & 12x(2x^{2}+3y+7xy)+1+12y^{2}(3+5x)= 0 \end{cases}$

ĐK: $x+y \geq 0; x+y+1 \geq 0 \rightarrow 2x+2y+1 \geq 0$ 

 

$(1) \iff 4(x+y)^2-1+\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{x+y+1}=0$

 

$\iff (2x+2y-1)(2x+2y+1)+\dfrac{2x+2y-1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}}=0$

 

$\iff (2x+2y-1)(2x+2y+1+\dfrac{1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}})=0$

 

$\iff 2x+2y-1=0$ (phần trong ngoặc luôn dương)

 

Đến đây thay xuống phương trình 2 giải pt bậc 2 đối với aan4 $x$ hoặc $y$

[NTA1907]

Bài 229: $\begin{cases} & \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ & 12x(2x^{2}+3y+7xy)+1+12y^{2}(3+5x)= 0 \end{cases}$

ĐK: $x+y\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{x+y+1})+(4(x+y)^{2}-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x+2y-1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}}+(2x+2y-1)(2x+2y+1)=0$

$\Leftrightarrow (2x+2y-1)(\frac{1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}}+2x+2y+1)=0$

Vì $x+y\geq 0$ nên phần trong ngoặc luôn dương$\Rightarrow 2x+2y=1$

Đến đây dễ rồi

[NTA1907]

Bài 238: $\frac{x^2}{1-x^2}+x^2+1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}$

Bài 239: $\frac{9}{3\sqrt{x-1}+6}-1-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}=0$

P/s: Ở trên là những bài không đánh STT, mong các bạn mới post bài ở topic nên chú ý đánh STT khi đăng bài

[PlanBbyFESN]

Bài 238: $\frac{x^2}{1-x^2}+x^2+1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}$

 

Bài 238: 

 

Đặt  $\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}=a(a\geq 0)$

 

$\Rightarrow \frac{x^2}{1-x^2}+x^2+1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}\Leftrightarrow \frac{x^2}{1-x^2}+2+x^2-1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}$

 

$\Leftrightarrow a^{2}+x^{2}-1=2xa\Leftrightarrow (a-x-1)(a-x+1)=0$

.........................

[anhquannbk]

Bài 240:

$ \begin{cases} & x^{4}+9y^{4}-6\sqrt{3}xy=-4 \\ & \dfrac{x^{2}}{3} + y^{2} +\dfrac{xy}{\sqrt{3}+3xy}=\dfrac{5}{6}\end{cases} $

[meomunsociu]

Bài 240:

$ \begin{cases} & x^{4}+9y^{4}-6\sqrt{3}xy=-4 \\ & \dfrac{x^{2}}{3} + y^{2} +\dfrac{xy}{\sqrt{3}+3xy}=\dfrac{5}{6}\end{cases} $

pt(1)$\Leftrightarrow$$(x^2+3y^2)^2-6x^2y^2-6\sqrt{3}xy=-4$

pt(2)$\Leftrightarrow x^2+3y^2+\frac{\sqrt{3}xy}{\sqrt{3}xy+1}=\frac{5}{2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^2+3y^2=a & & \\ \sqrt{3}xy=b & & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2-2b^2-6b=-4 & & \\ a+\frac{b}{1+b}=\frac{5}{2} (3)& & \end{matrix}\right.$

Lại có: (3)$\Leftrightarrow 2(a+b+ab)=5+5b \Rightarrow b=\frac{5-2a}{2a-3}$

Từ đây thay vào pt(4) tìm ra x,y.......

[anhtukhon1]

BÀI 241: $2\sqrt{3x+7}-5\sqrt[3]{x-6}=4$

BÀI 242:$X^{2}+2X\sqrt{X-\frac{1}{X}}=3X+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 18-02-2016 - 13:22

[PlanBbyFESN]

BÀI 241: $2\sqrt{3X+7}-5\sqrt{X-6}=4$

 

Bài 241:

 

$2\sqrt{3X+7}-5\sqrt{X-6}=4\Leftrightarrow 4(3x+7)=(5\sqrt{x-6}+4)^{2}\Leftrightarrow 13x-162+40\sqrt{x-6}=0$

 

$\Leftrightarrow 13(x-6)+40\sqrt{x-6}-84=0$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x-6}=\frac{-20+2\sqrt{373}}{13} & \\ \sqrt{x-6}=\frac{-20-2\sqrt{373}}{13} & \end{bmatrix}$

 

Mà $\sqrt{x-6}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x-6}=\frac{-20+2\sqrt{373}}{13}\Rightarrow x=\left (\frac{-20+2\sqrt{373}}{13} \right )^{2}+6$   (TM)

...........................

[PlanBbyFESN]

 

BÀI 242:$X^{2}+2X\sqrt{X-\frac{1}{X}}=3X+1$

 

Bài 242:

 

Đặt :  $\sqrt{X-\frac{1}{X}}=t(t\geq 0)$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+2xt=3x+1 & \\ t^{2}=x-\frac{1}{x} & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+2xt=3x+1 & \\ t^{2}x-x^{2}+1=0 & \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế các phương trình của hệ, ta có:

 

$t^{2}x+2xt+1=3x+1\Leftrightarrow t^{2}x+2xt-3x=0\Leftrightarrow x(t-1)(t+3)=0$

..................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 18-02-2016 - 18:06

[anhtukhon1]

Bài 241:

 

$2\sqrt{3X+7}-5\sqrt{X-6}=4\Leftrightarrow 4(3x+7)=(5\sqrt{x-6}+4)^{2}\Leftrightarrow 13x-162+40\sqrt{x-6}=0$

 

$\Leftrightarrow 13(x-6)+40\sqrt{x-6}-84=0$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x-6}=\frac{-20+2\sqrt{373}}{13} & \\ \sqrt{x-6}=\frac{-20-2\sqrt{373}}{13} & \end{bmatrix}$

 

Mà $\sqrt{x-6}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x-6}=\frac{-20+2\sqrt{373}}{13}\Rightarrow x=\left (\frac{-20+2\sqrt{373}}{13} \right )^{2}+6$   (TM)

...........................

Sorry mình chép đề nhầm đã fix đề

[leminhnghiatt]

BÀI 241: $2\sqrt{3x+7}-5\sqrt[3]{x-6}=4$

ĐK: $x \geq \dfrac{-7}{3}$

 

Đặt $\sqrt{3x+7}=a; \sqrt[3]{x-6}=b$, thay vào ta có:

 

$\begin{cases} &  2a-5b=4 \\ &  4a^2-12b^3=100 \end{cases}$

 

$\iff \begin{cases} &  2a=4+5b \\ &  (4+5b)^2-12b^3=100 \end{cases}$

 

đến đây giải PT (2) là ra 

[anhtukhon1]

ĐK: $x \geq \dfrac{-7}{3}$

 

Đặt $\sqrt{3x+7}=a; \sqrt[3]{x-6}=b$, thay vào ta có:

 

$\begin{cases} &  2a-5b=4 \\ &  4a^2-12b^3=100 \end{cases}$

 

$\iff \begin{cases} &  2a=4+5b \\ &  (4+5b)^2-12b^3=100 \end{cases}$

 

đến đây giải PT (2) là ra 

Không được dùng máy tính bạn thử giải xem sao