Chủ đề này có 1255 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài 295: $2a^{3}-(2a^{2}-3a+1)\sqrt{a^{2}-2a}-4a^{2}-a+3=0$

ĐK: $a^2-2a \geq 0$

 

Phương trình tương đương với: $(2a^3-4a^2-a+3)-(2a^2-3a+1)\sqrt{a^2-2a}=0$

 

$\iff (a-1)(2a^2-2a-3)-(a-1)(2a-1)\sqrt{a^2-2a}=0$

 

$\iff (a-1)[2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}]=0$

 

$\iff a=1$   v    $2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}]=0 \ \ (1)$

 

Xét (1) ta có:

 

$2a^2-2a-3-(2a-1)\sqrt{a^2-2a}=0$

 

Đặt $\sqrt{a^2-2a}=x \ (x \geq 0)$, thay vào ta có:

 

$\iff 2a^2-2a-3-(2a-1)x=0$

 

$\iff 2x^2-(2a-1)x+2a^2-2a-3-2a^2+4a=0$

 

$\iff 2x^2-(2a-1)x+2a-3=0$

 

$\iff (x-1)(2x-a+3)=0$

 

Đến đây thay $x=\sqrt{a^2-2a}$ vào rồi bình phương bình thường

 

 

[ineX]

 

Bài 291: $\begin{cases} & 2x^{3}+3x^{2}-18=y^{3}+y \\ & 2y^{3}+3y^{2}-18=z^{3}+z\\ & 2z^{3}+3z^{2}-18=x^{3}+x \end{cases}$

 

Chém bài này:

Giả sử x>z lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) ta được:

$\left ( z-y \right )\left ( 2z^{2}+2y^{2}+2yz+3y+3z \right )= \left ( x-z \right )\left ( x^{2}+z^{2}+xz+1 \right )$

Rõ ràng vế phải dương nên vế trái dương, do đó dẫn tới z>y.

Làm tương tự ta lại có y>x Mẫu thuẫn.

Do vậy ba biến x=y=z

Ta có phương trình:

$x^{3}+3x^{2}-x-18=0$

Phương trình có nghiệm là 2, có thể giải dễ dàng!

[leminhnghiatt]

Bài 293: $\begin{cases} & \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3 \\ & \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 \end{cases}$

 

Cộng vế với vế 2 pt ta có:

 

$\iff \sqrt{x}+\sqrt{32-x}+\sqrt[4]{32-x}+\sqrt[4]{x}=y^2-6y+21$

 

Áp dụng bđt: $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4)$

 

CM: $8(a^4+b^4)=a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$

 

Ta có: $VT=(\sqrt{x}+\sqrt{32-x})+(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}) \leq \sqrt{2(x+32-x)}+\sqrt[4]{8(x+32-x)}=8+4=12$

 

$VP=y^2-6y+21=(y-3)^2+12 \geq 12$

 

Dấu "=" có khi: $y=3$ và $x=16$

[hoa2000kxpt]

Mình có vài bài đóng góp.

Bài 296: $2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$

Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$

[Kira Tatsuya]

bài 298:

$\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

[tuananh2000]

Bài 299 : $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

Bài 300 : $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3x}{2}-3$

[gianglqd]

Chém bài này:

Giả sử x>z lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) ta được:

$\left ( z-y \right )\left ( 2z^{2}+2y^{2}+2yz+3y+3z \right )= \left ( x-z \right )\left ( x^{2}+z^{2}+xz+1 \right )$

Rõ ràng vế phải dương nên vế trái dương, do đó dẫn tới z>y.

Làm tương tự ta lại có y>x Mẫu thuẫn.

Do vậy ba biến x=y=z

Ta có phương trình:

$x^{3}+3x^{2}-x-18=0$

Phương trình có nghiệm là 2, có thể giải dễ dàng!

Sao $\left ( 2z^{2}+2y^{2}+2yz+3y+3z \right )$ dương mà suy ra $z>y$ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 29-02-2016 - 21:50

[tran2b7i0n3h]

http://diendantoanho...endmatrixright/

[ineX]

Sao $\left ( 2z^{2}+2y^{2}+2yz+3y+3z \right )$ dương mà suy ra $z>y$ nhỉ

trước hết giả sử các biến dương. rồi làm tương tự với các biến âm

[ineX]

http://diendantoanho...endmatrixright/

Bạn ghi lại bài vào topic này được không? để nếu có bạn nào tổng hợp lại thì còn biết chứ

[gianglqd]

 

http://diendantoanho...endmatrixright/

 

 

Bạn ghi lại bài vào topic này được không? để nếu có bạn nào tổng hợp lại thì còn biết chứ

 

Bài 301: $\left\{\begin{matrix} 2x+4y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=8 & & \\4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6 & & \end{matrix}\right.$

Bài 302: $\left\{\begin{matrix} 1+x+xy=5y & & \\1+x^{2}+y^{2}=5y^{2} & & \end{matrix}\right.$

Bài 303: $\left\{\begin{matrix} -2x^{2}+xy(1-x)+2(x-y)-4=0 & & \\ 2x^{4}-2x^{3}-5(x+y)^{2}-21(x+y)=16 & & \end{matrix}\right.$

Bài 304: $\left\{\begin{matrix} 8y^{2}+4xy+2x+1=0 & & \\ (x+y)^{2}-y-3x=1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 305: $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{2x-y}+\sqrt{x-2y}=6 & & \\5(x^{2}-xy+y^{2})=3(xy-81) & & \end{matrix}\right.$

Bài 306: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=x^{2}y & & \\y^{2}x+2xy=1+x^{2} & & \end{matrix}\right.$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 308: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+4x^{2}y=6y^{3}+y^{2}+2 & & \\ 3(x^{2}+2y)^{2}+3y^{3}=y^{2}-1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 309: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(y^{2}+y+1-x)=y^{2} & & \\(x-y)^{2}(y^{4}+1)=2y^{4} & & \end{matrix}\right.$

Bài 310: $\left\{\begin{matrix} 2(2-x^{2})+9x^{2}y^{2}=0 & & \\ 4(\frac{1}{x}-3y)+9xy^{2}=0 & & \end{matrix}\right.$

Bài 303, 305, 306, 308, 309, 310 đã có giải tại link trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 01-03-2016 - 14:56

[meomunsociu]

Bài 300 : $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3x}{2}-3$ (1)

ĐKXĐ: .....

Ta có pt (1) $\Leftrightarrow (5x^2+\frac{3}{2}x-3)-(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow 2(2x^2-1)-(3x+1)\sqrt{2x^2-1}+x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=a (a\geq 0)$ ta có:

$2a^2-(3x+1)a+x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

$\Leftrightarrow (a-x+\frac{1}{2})(2a-x-2)=0$

Đến đây dễ rồi 

[leminhnghiatt]

Bài 299 : $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

 

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

 

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=4$

 

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=(x+6)-(x+2)$

 

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2})=0$

 

$\iff \sqrt{2x-1}-3=\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2}$

 

$\rightarrow 2x+8-6\sqrt{2x-1}=2x+8-2\sqrt{(x+6)(x+2)}$

 

$\iff 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{(x+6)(x+2)}$

 

Đến đây bình phương rồi giải phương trình bậc hai bình thường sau đó thử lại...

[tuananh2000]

ĐKXĐ: .....

Ta có pt (1) $\Leftrightarrow (5x^2+\frac{3}{2}x-3)-(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow 2(2x^2-1)-(3x+1)\sqrt{2x^2-1}+x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=a (a\geq 0)$ ta có:

$2a^2-(3x+1)a+x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

$\Leftrightarrow (a-x+\frac{1}{2})(2a-x-2)=0$

Đến đây dễ rồi 

Từ dòng đỏ trên sao bạn có ý tưởng phân tích thành dòng đỏ dưới được vậy, mình vẫn chưa hiểu rõ cách suy luận của bài toán lắm 

[gianglqd]

Từ dòng đỏ trên sao bạn có ý tưởng phân tích thành dòng đỏ dưới được vậy, mình vẫn chưa hiểu rõ cách suy luận của bài toán lắm 

Bạn thử tham khảo video này sẽ hiễu ra hơn vể cách làm

Cách suy luân thì chắc bạn ấy thấy nghiệm chẵn nên thử áp dụng và thấy nó phân tích được thành nhân tử thôi

[meomunsociu]

Bài 299 : $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

pt đã cho $\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}+\sqrt{x+6})(\sqrt{2x-1}-3)=4$

Đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}=a & \\ \sqrt{x+6}=b & \\ \sqrt{2x-1}=c& \end{matrix}\right.$

(a,b,c $\geq$ 0)

Khi đó ta có: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(c-3)=4 & \\ b^2-a^2=4 (1)& \\ 2b^2-c^2=13(2)& \\ 2a^2-c^2=5 (3) & \end{matrix}\right.$

Từ (1)$\rightarrow (b-a)(b+a)=4\rightarrow b-a=c-3$ (từ pt đầu)

$\rightarrow c=b-a+3\rightarrow c^2=b^2+a^2+9+6b-6a-2ab$

$\rightarrow (3)\Leftrightarrow a^2-b^2+2ab-6b+6a=14\rightarrow 2ab-6b+6a=18$

$\Leftrightarrow (a-3)(b+3)=0\rightarrow a=3(TM)$

Từ đây dễ dàng suy ra: b=c=$\sqrt{13}$ $\Rightarrow x=7(TM)$

Vậy ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 02-03-2016 - 18:44

[PlanBbyFESN]

Bài 311: Giải hệ với $x,y,z>0$:

 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ \sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}} =\frac{3}{\sqrt{2}}& \end{matrix}\right.$

 

(Một bổ đề quan trọng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 03-03-2016 - 13:01

[royal1534]

Bài 311: Giải hệ với $x,y,z>0$:

 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ \sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}} =\frac{3}{\sqrt{2}}& \end{matrix}\right.$

 

(Một bổ đề quan trọng)

PT(2) chính xác là 1 bất đẳng thức của Vas,Xem chứng minh tại đây

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$

Thay vào PT(1) ta có nghiệm của hệ là (1;1;1)

[NTA1907]

Bài 296: $2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$

ĐK: $-2\leq x\leq 2$

Bình phương 2 vế và thu gọn ta có:

$16\sqrt{8-2x^{2}}=9x^{2}+8x-32$

$\Leftrightarrow 8(2\sqrt{8-2x^{2}}-x)=9x^{2}-32$

$\Leftrightarrow \frac{8(9x^{2}-32)}{2\sqrt{8-2x^{2}}+x}+9x^{2}-32=0$

$\Leftrightarrow (9x^{2}-32)(\frac{8}{2\sqrt{8-2x^{2}}+x}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Đến đây đối chiếu đk nữa là xong.

[hoa2000kxpt]

ĐK: $-2\leq x\leq 2$

Bình phương 2 vế và thu gọn ta có:

$16\sqrt{8-2x^{2}}=9x^{2}+8x-32$

$\Leftrightarrow 8(2\sqrt{8-2x^{2}}-x)=9x^{2}-32$

$\Leftrightarrow \frac{8(9x^{2}-32)}{2\sqrt{8-2x^{2}}+x}+9x^{2}-32=0$

$\Leftrightarrow (9x^{2}-32)(\frac{8}{2\sqrt{8-2x^{2}}+x}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Đến đây đối chiếu đk nữa là xong.

Mình nghĩ là phương trình này chỉ có 1 nghiệm thôi:$x=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ mà thôi.Nếu không tin thì bạn thử cả 2 nghiệm này vào phương trình xem có thỏa mãn không chứ điều kiện đầu bài chưa chắc đã nói lên điều gi.Dù sao mình cảm ơn bạn vì đã cho mình cách giải mới này .