Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về phương trình và hệ phương trình

* * * * * 34 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1255 trả lời

#961
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

$x^3-9x^2+3x-3=0$

 

 

Bạn giải thích giúp mình với.

Mình không giải thích mà chỉ đưa ra một lời giải "tự nhiên"- mỗi bước biến đổi bên dưới là một bước trong phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát.

(Việc c/m PT có nghiệm duy nhất được bỏ qua.)

Đặt $v=x-3.$ Khi đó phương trình trở thành $v^3 - 24v - 48=0.$

 

Tiếp tục đặt $v= \sqrt{8}(t+\frac{1}{t})$ với $|t|> 1$, ta thu được phương trình 

\[t^{3}+\frac{1}{t^3}=\frac{3}{\sqrt{2}}.\]

Giải phương trình trùng phương này, ta dẫn đến $v= 32^{\frac{1}{3}} + \frac{32^{\frac{2}{3}}}{4}.$

Do đó $x=3+2\sqrt[3]{4}+ 2\sqrt[3]{2}.$

 

 

Mình phân tích đa thức thành nhân tử thôi  :D

 

 

Bạn có thể bàn về cách nhận ra nhân tử để bắt đầu việc phân tích?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 25-07-2016 - 22:03

Đời người là một hành trình...


#962
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài 461: Giải phương trình: $x-1=ln(x)$

 

 

Lời giải.

Điều kiện xác định $x>0$.

Phương trình tương đương với $x=\ln\left ( x \right )+1$.

Xét vế trái đặt $f\left ( x \right )=x$, ta có $f'\left ( x \right )=1$ đây là hàm hằng.

Đặt vế phải là $g\left ( x \right )=\ln\left ( x \right )+1$ thì $g'\left ( x \right )=\frac{1}{x}>0$ vì theo điều kiện xác định $x>0$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, dễ thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.

 

 

 

 

 

Lập luận sai!

Thí dụ:

Xét phương trình $(x-2)(x-3)=0.$

\[\Leftrightarrow x^2+6=5x.\]

(theo lập luận trên phương trình này chỉ có tối đa một nghiệm dương).

 

------------------------------

Giải lại bài 461:

Xét $f(x)= x-1-\ln{x}$  với $x\in (0, \infty)$.

$f'(x)=1-\frac{1}{x}.$

Bằng cách khảo sát hàm số, ta chỉ ra $x=1$ là điểm cực tiểu (duy nhất). Hơn nữa, $y=f(x)$ có GTNN là $0$  và đạt GTNN khi và chỉ khi $x=1.$

 

Do đó $x=1$ là nghiệm duy nhất của PT.

Ghi chú:

BĐT quen thuộc: $e^t\ge t+1.$ 

Do đó $x\ge \ln{x}-1 \, \forall x>0.$


Đời người là một hành trình...


#963
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài 463: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}y^3x-x^4=28 \\ xy^2+2x^2y+x^3=18\sqrt{2} \end{matrix}\right.$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#964
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài 463: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}y^3x-x^4=28 \\ xy^2+2x^2y+x^3=18\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

 
Từ phương trình, ta có $y>x>0$.
Hệ đẳng cấp này có phương trình đẳng cấp tương ứng là
\[(18\sqrt{2})^4(y^3x-x^4)^3=28^3(xy^2+2x^2y+x^3)^4.\]
Hay 
\[x^3(2x - y)(3452x^8 + 3098x^7y + 6351x^6y^2 + 2938x^5y^3 + 13474x^4y^4 + 16341x^3y^5 + 22814x^2y^6 + 12779xy^7 + 6561y^8)=0.\]
Do đó $y=2x$.
Suy ra $(x,y)= (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ phương trình thứ 2, ta có $y = 3\sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{x}} -x$.
Đặt $u= \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{x}}, u>0$.
Thay vào phương trình thứ nhất, ta thu được phương trình
(PT cũng khá phức tạp!)

Đời người là một hành trình...


#965
ngocanh29092000

ngocanh29092000

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Bài 464: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{6x+y}+\sqrt{5x+2y}=\sqrt{2x-y}+\sqrt{x} & & \\ \sqrt{x+y^{2}+6}= 2\left ( x+y \right )+1+5\sqrt{x+1} & & \end{matrix}\right.$



#966
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài 464: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{6x+y}+\sqrt{5x+2y}=\sqrt{2x-y}+\sqrt{x} & & \\ \sqrt{x+y^{2}+6}= 2\left ( x+y \right )+1+5\sqrt{x+1} & & \end{matrix}\right.$

 

Phương trình thứ nhất có điểm đặc biệt: $ (6x+y)+x= (2x-y)+(5x+2y).$

\[PT1 \Leftrightarrow \sqrt{6x+y}-\sqrt{x}=-\sqrt{5x+2y}+\sqrt{2x-y}.\]
\[\Rightarrow -2\sqrt{(6x+y)x}=-2\sqrt{(5x+2y)(2x-y)}.\]

 

 

 

Do đó $y=x \vee y=-2x.$

 

Trường hợp 1: $y=x\ge 0.$

PT2 trở thành $\sqrt{x^2+x+6}= 4x+1+5\sqrt{x+1} $

$VP\ge 2x+5> VT.$

 

Trường hợp 2: $y=-2x\le 0.$

PT2 trở thành $\sqrt{4x^2+x+6}= -2x+1+5\sqrt{x+1} $

 

Điều kiện: $-2x+1+5\sqrt{x+1}\ge 0.$

Bình phương hai vế phương trình  và rút gọn, ta thu được

\[2\sqrt{(x+1)}=2x-1.\]

Do đó $x= \frac{2+\sqrt{7}}{2}, y= -2-\sqrt{7}.$ là nghiệm duy nhất của hệ (đã "thử lại").


Đời người là một hành trình...


#967
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 465: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}-8y^{3}=1+3xy-3x^{2}y^{2} \\ &8y^{3}-3x^{3}=1-3xy+9x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#968
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài 466: Giải phương trình:

$4x^2-11x+10=(x-1)\sqrt{2x^2-6x+2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 05-08-2016 - 18:47

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#969
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài 467: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-x}(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=x(y+\sqrt{y}) & & \\32x(x^{2}-1)(2x^{2}-1)^{2}+y=0 & & \end{matrix}\right.$$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#970
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Bài 465: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}-8y^{3}=1+3xy-3x^{2}y^{2} \\ &8y^{3}-3x^{3}=1-3xy+9x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

Mình có ý này nhưng nghiệm ra khá lẻ

 

$3PT(1)+PT(2) \iff -16y^3=4+6xy \iff -8y^3=2+3xy$

 

$PT(1)+PT(2) \iff -2x^3=2+6x^2y^2 \iff -x^3=1+3x^2y^2$

 

Nhân vế với vế: $8x^3y^3=(2+3xy)(1+3x^2y^2)$

 

$\iff 8x^3y^3=2+6x^2y^2+3xy+9x^3y^3$

 

$\iff x^3y^3+6x^2y^2+3xy+2=0$

 

Đến đây tìm đc quan hệ $x,y$

 

p/s: Nghiệm ra lẻ quá, không biết mk làm sai ở đâu k


Don't care


#971
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Bài 466: Giải phương trình:

$4x^2-11x+10=(x-1)\sqrt{2x^2-6x+2}$

ĐK: $2x^2-6x+2 \geq 0$

 

$\iff -(x-1)\sqrt{2x^2-6x+2}+4x^2-11x+10=0$

 

$\iff -(2x^2-6x+2)-(x-1)\sqrt{2x^2-6x+2}+6x^2-17x+12=0$

 

Đặt $\sqrt{2x^2-6x+2}=a$

 

$\iff -a^2-(x-1)a+6x^2-17x+12=0$

 

$\iff (a-2x+3)(a+3x-4)=0$

 

Đến đây thay $a$ và thực hiện chuyển vế bình phương


Don't care


#972
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Mình có ý này nhưng nghiệm ra khá lẻ

 

$3PT(1)+PT(2) \iff -16y^3=4+6xy \iff -8y^3=2+3xy$

 

$PT(1)+PT(2) \iff -2x^3=2+6x^2y^2 \iff -x^3=1+3x^2y^2$

 

Nhân vế với vế: $8x^3y^3=(2+3xy)(1+3x^2y^2)$

 

$\iff 8x^3y^3=2+6x^2y^2+3xy+9x^3y^3$

 

$\iff x^3y^3+6x^2y^2+3xy+2=0$

 

Đến đây tìm đc quan hệ $x,y$

 

p/s: Nghiệm ra lẻ quá, không biết mk làm sai ở đâu k

 

Giải phương trình bậc ba, ta có $xy= -2-\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}\right).$

Dẫn đến 

\[x=-\sqrt[3]{31+15\sqrt[3]{9}+21\sqrt[3]{3}},\]

\[y=\frac{1}{2} \sqrt[3]{4+3\sqrt[3]{9}+3\sqrt[3]{3}}.\]
Chắc bước trên đã chính xác (nghiệm đã đúng).


Đời người là một hành trình...


#973
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài 467: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-x}(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=x(y+\sqrt{y}) & & \\32x(x^{2}-1)(2x^{2}-1)^{2}+y=0 & & \end{matrix}\right.$$

 

Quá nhiều yếu lượng giác nằm trong phương trình thứ hai.

Từ hệ phương trình, ta có $x\in (0,1], y\ge 0.$

Đặt $x=\cos{t}$ với $t\in [0,\pi/2).$

 

Từ phương trình thứ hai, ta có

\[y=32\cos{t}\sin^2{t}\cos^2{(2t)}.\]

\[y= \frac{2\sin^2{(4t)}}{\cos{t}}.\]

Hay $xy= 2\sin^2{(4t)}.$

Khi đó phương trình thứ nhất được viết lại

\[\sqrt{2}\sin\frac{t}{2} \left( \sqrt{\cos{t}}+\sqrt{2}{\sin\frac{t}{2}}\right)=2\sin^{2}{(4t)}+\sqrt{\cos{t}} |\sin{(4t}|.\]

 

\[\Leftrightarrow 2\left(\sin^{2}{(4t)}-\sin^2\frac{t}{2}\right) +\sqrt{\cos{t}}\left(|\sin{(4t)}|-\sin\frac{t}{2}\right)=0.\]

 

\[\Leftrightarrow \left(|\sin{(4t)}|-\sin\frac{t}{2}\right) \left(|\sin{(4t)}|+\sin\frac{t}{2}+\sqrt{\cos{t}}\right)=0.\]

Vì biểu thức trong ngoặc thứ hai dương với mọi $t\in [0,\pi/2)$ nên phương trình tương đương

\[|\sin{(4t)}|=\sin\frac{t}{2}.\]

\[\cos{8t}=\cos {t}.\]

Hay $t= 0 \vee \frac{2\pi}{7}\vee \frac{2\pi}{9} \vee \frac{4\pi}{7}.$

Do đó hệ ban đầu có 4 nghiệm: $(\cos t_i, \frac{2\sin^2{(4t_i)}}{\cos{t_i}})$ với $i=1, 2, 3, 4$, trong đó

 $t_1= 0,\, t_2=\frac{2\pi}{7},\, t_3= \frac{2\pi}{9}, \, t_4= \frac{4\pi}{7}.$


Đời người là một hành trình...


#974
gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết

Bài 468:$\begin{cases} & 2x^2+\sqrt{2x}=(x+y)y+\sqrt{xy} \\ & \sqrt{x-1}+xy=\sqrt{y^2+21} \end{cases}$

Bài 469:$\begin{cases} & 3\sqrt{y^3(2x-y)}+\sqrt{x^2(5y^2-4x^2)}=4y^2 \\ & \sqrt{2-x}+\sqrt{y+1}+2=x+y^2 \end{cases}$


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#975
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài 470: Giải phương trình:

$\sqrt[3]{-15x^3+3x^2+2}-x=71\sqrt{16x^3+3x-1}+1$

Bài 471: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a^2-b^2-2a+2b+3=0 \\ a^2-2ab+2b+7=0 \end{matrix}\right.$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#976
kudoshinichihv99

kudoshinichihv99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 850 Bài viết

Bài 470: Giải phương trình:

$\sqrt[3]{-15x^3+3x^2+2}-x=71\sqrt{16x^3+3x-1}+1$

Đặt $\sqrt[3]{-15x^3+3x^2+2}=a;x+1=b=>a-b=71\sqrt{b^3-a^3}=>a-b=0=>...$


Làm việc sẽ giúp ta quên đi mọi nỗi buồn trong cuộc sống :icon12:  :like  :wub:   ~O)

  Like :like  Like  :like Like  :like 

  Hình học phẳng trong đề thi thử THPT Quốc Gia

  Quán Thơ VMF

  Ôn thi THPT Quốc Gia môn vật lý

  Hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia

                                                         Vũ Hoàng 99 -FCA-


#977
kudoshinichihv99

kudoshinichihv99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 850 Bài viết

 

Bài 469:$\begin{cases} & 3\sqrt{y^3(2x-y)}+\sqrt{x^2(5y^2-4x^2)}=4y^2 \\ & \sqrt{2-x}+\sqrt{y+1}+2=x+y^2 \end{cases}$

PT1<=>$4y^2=3\sqrt{y^2(2xy-y^2)}+\sqrt{x^2(5y^2-4x^2)}\leq \frac{3(y^2+2xy-y^2)}{2}+\frac{x^2+5y^2-4x^2}{2}<=>(x-y)^2\leq 0=>x=y=>PT2<=>\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}=-(2-x)(x+1)=>...$


Làm việc sẽ giúp ta quên đi mọi nỗi buồn trong cuộc sống :icon12:  :like  :wub:   ~O)

  Like :like  Like  :like Like  :like 

  Hình học phẳng trong đề thi thử THPT Quốc Gia

  Quán Thơ VMF

  Ôn thi THPT Quốc Gia môn vật lý

  Hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia

                                                         Vũ Hoàng 99 -FCA-


#978
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài 470 còn có thể giải bằng pp đánh giá.

Để ý thấy: $\sqrt[3]{-15x^3+3x^2+2}-x+1\geq 0\Leftrightarrow 16x^3+3x-1\leq 0$ 

Mà từ phương trình đã cho ta có: $16x^3+3x-1\geq 0$

Nên: $16x^3+3x-1=0$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#979
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Bài 471: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}a^2-b^2-2a+2b+3=0(1) \\ a^2-2ab+2b+7=0(2) \end{matrix}\right.$$

$8PT(1)-3PT(2)=0\Leftrightarrow (5a-4b-1)(a+2b-3)=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 06-08-2016 - 23:10


#980
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

 

Bài 471: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a^2-b^2-2a+2b+3=0 \\ a^2-2ab+2b+7=0 \end{matrix}\right.$

 

 

$8PT(1)-3PT(2)=0\Leftrightarrow (5a-4b-1)(a+2b-3)=0$

 

Thêm một lời giải khác.

 

Từ phương trình thứ nhất gợi cho ta cách đặt ẩn phụ $u=a-1, v=b-1$, ta có hệ phương trình 

 

$\left\{\begin{matrix}u^2-v^2+3=0 \\ u^2 - 2vu + 8=0 \end{matrix}\right.$
 
 

Đây là hệ phương trình đẳng cấp và nó cũng liên quan số $8$, $-3$  như phương pháp $l \times PT1+k\times PT2.$

 


Đời người là một hành trình...





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh