Chủ đề này có 1255 trả lời

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}+3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 279: $\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1-x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Bài 335: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{2}x=y^{2}+2\sqrt{x-2} \\ &x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 425: $(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1)\leq \sqrt{7-x}+x-5$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 22-08-2016 - 19:36

[leminhnghiatt]

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

ĐK: $-y^2-6y-1 \geq 0; 17-4y-16x \geq 0$

 

Từ pt (2) $y=\dfrac{-x^2-18x+16}{4}$

 

Thế vào pt (1) ta có:

 

$3x^2+4x-5=\sqrt{-y^2-6y-1}$

 

$\iff (3x^2+4x-5)^2+y^2+6y+1=0$

 

$\iff (3x^2+4x-5)^2+[\dfrac{-x^2-18x+16}{4}]^2+6[\dfrac{-x^2-18x+16}{4}]+1=0$

 

$\iff 145x^4+900x^3+1084x^2-2448x+1056=0$

 

$\iff 145(x^2+\dfrac{90}{29}x-2)^2+[\dfrac{7756}{29}x^2-648x+476]=0$ (*)

 

Do $VT>0$ nên pt (*) vô nghiệm

 

Vậy hệ pt đã cho vô nghiệm

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Cách khác cho bài toán này.

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1}\leq \frac{1-y^{2}-6y-1}{2}$

$\Leftrightarrow 6x^{2}+8x-10+y^{2}+6y\leq 0(*)$

Pt(2):$x+1=\sqrt{17-4y-16x} \Rightarrow x^{2}+18x+4y-16=0(**)$

Lấy (*)-(**) ta được:$5(x-1)^{2}+(y+1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=1$ và $y=-1$

Thay lại hệ ta thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

ĐK: $x\geq -4$

TH1: $-4\leq x< -3\Rightarrow VT> 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

TH2: $-3< x< 0\Rightarrow VT< 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

TH3: $x> 0\Rightarrow VT> 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

$\Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm $x=0$ và $x=-3$

[An Infinitesimal]

Cách khác cho bài toán này.

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1}\leq \frac{1-y^{2}-6y-1}{2}$

$\Leftrightarrow 6x^{2}+8x-10+y^{2}+6y\leq 0(*)$

Pt(2):$x+1=\sqrt{17-4y-16x} \Rightarrow x^{2}+18x+4y-16=0(**)$

Lấy (*)-(**) ta được:$5(x-1)^{2}+(y+1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=1$ và $y=-1$

Thay lại hệ ta thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm

 

(y) Hợp tiêu chí... "cứ làm mọi thứ" cho đơn giản (nhưng vẫn chứa mẹo nên vẫn không hài lòng bằng lời giải của leminhnghiatt.)

 

ĐK: $x\geq -4$

TH1: $-4\leq x< -3\Rightarrow VT> 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

TH2: $-3< x< 0\Rightarrow VT< 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

TH3: $x> 0\Rightarrow VT> 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

$\Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm $x=0$ và $x=-3$

Thêm một chút cho bài 323:

 

Góp thêm chút ý cho phương trình này (không phải lời giải hay nhưng hi vọng có cái nhìn "đơn giản", dù công cụ hơi "mạnh")

ĐK: $x\ge -4.$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x+8}-\frac{9}{4x+3}-1=0.$

 

Xét $f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x+8}-\frac{9}{4x+3}-1$ với $x\ge -4.$

Ta dễ dàng thấy rằng $f'(x)>0$ trên $(-4, \infty)\setminus \{-\frac{8}{3}\}$. Do đó $f$ đồng biến trên mỗi "khoảng" sau: $[-4, -8/3) , [-8/3, \infty).$

 

Do đó PT $f(x)=0$ có không quá một nghiệm trên mỗi khoảng như trên.

(Dùng các nghiệm của NTA1907.)

[leminhnghiatt]

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

 

$\iff \sqrt[3]{9x+9}-\sqrt[3]{2x-3}-x=0$

 

$\iff (\sqrt[3]{9x+9}-3\sqrt[3]{2x-3})+(2\sqrt[3]{2x-3}-x)=0$

 

$\iff \dfrac{45(2-x)}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}+\dfrac{(2-x)(x^2+2x-12)}{4\sqrt[3]{2x-3}^2+2x\sqrt[3]{2x-3}+x^2}$

 

$\iff (2-x)[\dfrac{45}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}+\dfrac{x^2+2x-12}{4\sqrt[3]{2x-3}^2+2x\sqrt[3]{2x-3}+x^2}]=0$

 

$\iff (2-x)[\dfrac{45}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}-\dfrac{13}{A}+\dfrac{(x+1)^2}{A}]$ 

 

Với $A=4\sqrt[3]{2x-3}^2+2x\sqrt[3]{2x-3}+x^2$

 

Xét $C=\dfrac{45}{\sqrt[3]{9x+9}^2+3\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)}+9\sqrt[3]{2x-3}^2}-\dfrac{13}{A}$

 

Quy đồng ta được tử số:

 

$B=63\sqrt[3]{2x-3}^2+90x\sqrt[3]{2x-3}+45x^2-13\sqrt[3]{9x+9}^2-39\sqrt[3]{(9x+9)(2x-3)} \ (*)$

 

Đặt $\sqrt[3]{2x-3}=a \rightarrow \sqrt[3]{9x+9}=x+a$

 

$B=63a^2+90xa+45x^2-13(x+a)^2-39a(x+a)$

 

$\iff B=24a^2+25xa+32x^2>0 \rightarrow C>0$

 

Vậy phần trong ngoặc luôn dương

 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

 

p/s

không biết làm cách nào cho nó ngắn hơn,m.n cho ý kiến liệu bài này có đặt ẩn phụ rồi đưa về hệ đối xứng được k nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 18-08-2016 - 16:18

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

(y) Hợp tiêu chí... "cứ làm mọi thứ" cho đơn giản (nhưng vẫn chứa mẹo nên vẫn không hài lòng bằng lời giải của leminhnghiatt.)

Mình thấy có một số bạn hỏi về pp làm những dạng này, đó là U.C.T. Nhân tiện mình sẽ nói qua pp này qua bài 480...

Ta xét hệ tổng quát: $\left\{\begin{matrix} &ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0 \\ &a^{'}x^{2}+b^{'}y^{2}+c^{'}x+d^{'}y+e^{'}=0 \end{matrix}\right.$

Như vậy ta phải tìm hằng số k sao cho PT(1)+k.PT(2) có thể đưa về dạng:

$(a+ka^{'})(x+\alpha )^{2}+(b+kb^{'})(y+\beta )^{2}=0$

$\Leftrightarrow (a+ka^{'})x^{2}+(b+kb^{'})y^{2}+2x\alpha (a+ka^{'})+2y\beta (b+kb^{'})+(a+ka^{'})\alpha ^{2}+(b+kb^{'})\beta ^{2}=0$

PT(1)+k.PT(2)$\Leftrightarrow (a+ka^{'})x^{2}+(b+kb^{'})y^{2}+(c+kc^{'})x+(d+kd^{'})y+e+ke^{'}=0$

Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &2\alpha (a+ka^{'})=c+kc^{'} & \\ &2\beta (b+kb^{'})=d+kd^{'} & \\ &(a+ka^{'})\alpha ^{2}+(b+kb^{'})\beta ^{2}=e+ke^{'} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng vào bài 480 thay các hệ số vào ta được hệ phương trình 3 ẩn:

$\left\{\begin{matrix} &2\alpha (6+k)=8+18k & \\ &2\beta =6+4k & \\ &(6+k)\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-10-16k \ & \end{matrix}\right.$

Từ đây ta giải được: $\left\{\begin{matrix} &k=-1 & \\ &\alpha =-1 & \\ &\beta =1 & \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}+3$

 

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Điều kiện $-\frac{4}{5}\le x\le 2.$

 

Dễ dàng chỉ ra vế trái $\ge 3$ nên phương trình không thể có nghiệm âm.

 

$PT \Leftrightarrow\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}-\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3=0.$

Đặt $f(x)= \sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}-\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$ với $x\in [0,2].$

Ta có 

\[f'(x)= \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 4}} - \frac{1}{\sqrt{2 - x}} - \frac{18x+192}{\sqrt{(9 x^2 + 16)^3}}.\]

 

Nếu $2>x\ge \frac{7}{9}$ thì 

\[f'(x)< \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 4}} - \frac{1}{\sqrt{2 - x}}<0.\]

Nếu $0<x< \frac{7}{9}$ thì 

\[f'(x)< \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 4}}  - \frac{18x+192}{\sqrt{(9 x^2 + 16)^3}} = \frac{5\sqrt{(9 x^2 + 16)^3}-2(18x+192)\sqrt{5 x + 4}}{2 \sqrt{5 x + 4}\sqrt{(9 x^2 + 16)^3}}.\]

Vế phải âm khi và chỉ khi 

\[- 18225 x^6 - 97200 x^4 + 6480 x^3 - 29376 x^2 + 847872 x + 487424>0.\]

Thật vậy, với $x\in (0,1)$, ta có

\[- 18225 x^6 - 97200 x^4 + 6480 x^3 - 29376 x^2 + 847872 x + 487424 \ge - 18225 x^3 - 97200 x^3 + 6480 x^3 - 29376 x^2 + 847872 x + 487424,\]

 

\[\ge  - 108945 x^3 - 29376 x^2 + 847872 x + 487424\]

 

\[\ge - 108945 x - 29376 x + 847872 x + 487424= 709551x + 487424>0.\]

 

Suy ra $ f(x) $ nghịch biến trên $[0,2]$ và $f(1)=0$. Do đó $ x=1 $ là nghiệm duy nhất của phương trình.

 

 

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Mình thấy có một số bạn hỏi về pp làm những dạng này, đó là U.C.T. Nhân tiện mình sẽ nói qua pp này qua bài 480...

Ta xét hệ tổng quát: $\left\{\begin{matrix} &ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0 \\ &a^{'}x^{2}+b^{'}y^{2}+c^{'}x+d^{'}y+e^{'}=0 \end{matrix}\right.$

Như vậy ta phải tìm hằng số k sao cho PT(1)+k.PT(2) có thể đưa về dạng:

$(a+ka^{'})(x+\alpha )^{2}+(b+kb^{'})(y+\beta )^{2}=0$

$\Leftrightarrow (a+ka^{'})x^{2}+(b+kb^{'})y^{2}+2x\alpha (a+ka^{'})+2y\beta (b+kb^{'})+(a+ka^{'})\alpha ^{2}+(b+kb^{'})\beta ^{2}=0$

PT(1)+k.PT(2)$\Leftrightarrow (a+ka^{'})x^{2}+(b+kb^{'})y^{2}+(c+kc^{'})x+(d+kd^{'})y+e+ke^{'}=0$

Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &2\alpha (a+ka^{'})=c+kc^{'} & \\ &2\beta (b+kb^{'})=d+kd^{'} & \\ &(a+ka^{'})\alpha ^{2}+(b+kb^{'})\beta ^{2}=e+ke^{'} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng vào bài 480 thay các hệ số vào ta được hệ phương trình 3 ẩn:

$\left\{\begin{matrix} &2\alpha (6+k)=8+18k & \\ &2\beta =6+4k & \\ &(6+k)\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-10-16k \ & \end{matrix}\right.$

Từ đây ta giải được: $\left\{\begin{matrix} &k=-1 & \\ &\alpha =-1 & \\ &\beta =1 & \end{matrix}\right.$

(y) (y)

[Baoriven]

Bài 482: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y+1)=6y-2 \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Còn nhiều bài khó, mình xin đăng bài dễ thở hơn.

[nguyenchinhns]

mấy bài nào vậy e :3

Bài 15 ạ!

[dat9adst20152016]

Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Pt2$\Leftrightarrow (y^{2}-x)^{2}+7(y^{2}-x)-8=0\Leftrightarrow y^{2}-x=-8$ hoặc $y^{2}-x=1$

 Đến đây thế y² theo x vào pt1 là được

[killerdark68]

Bài 15:

a,ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$  

pt $\Leftrightarrow \sqrt{4x-1}-1+\sqrt{4x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow \frac{2(2x-1)}{\sqrt{4x-1}+1}+\sqrt{4x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}(\frac{2\sqrt{2x-1}}{\sqrt{4x-1}+1}+\sqrt{2x +1})=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

b,$x\geq 1$

pt có $VT\geq 0$

VP= $-x^3-4x+5=(1-x)(x^2+x+5)\leq 0$

vậy x=1

c,$\frac{1}{2}\leq x\leq 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}-1+x-1+\sqrt{x^2+3}-2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2})=0$

nên x=1

d,$x\leq \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow (x^5+1)+(x^3+1)+(2-\sqrt{1-3x})=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x^4+2-x^3+2x^2-2x+\frac{3}{2+\sqrt{1-3x}})=0$

nên x=-1

e,$x\geq \frac{-3}{2}$

$\Leftrightarrow x^3+4x=(2x+3)\sqrt{(2x+3)}+4\sqrt{(2x+3)}$

theo tính đơn điệu thì $x=\sqrt{2x+3}$ <cái này đặt ẩn phụ cx dk>

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=3\\x=-1 \end{bmatrix}$

câu f đề đúg ko v??

[An Infinitesimal]

Bài 15:

a,ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$  

pt $\Leftrightarrow \sqrt{4x-1}-1+\sqrt{4x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow \frac{2(2x-1)}{\sqrt{4x-1}+1}+\sqrt{4x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}(\frac{2\sqrt{2x-1}}{\sqrt{4x-1}+1}+\sqrt{2x +1})=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

 

Dùng pp đánh giá sẽ nhanh hơn.

\[VT \ge \sqrt{4x-1}-1\ge 0.\]

[leminhnghiatt]

Bài 482: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y+1)=6y-2 \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Còn nhiều bài khó, mình xin đăng bài dễ thở hơn.

 

Dễ thấy $y=-1$ không là nghiệm. Từ pt (1) ta có: $\dfrac{6y-2}{y+1}=x^2 \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{1}{3}$ hoặc $y <-1$  

 

Ta có hệ đã cho tương đương với:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} (x^4y^2+2x^2y^2+y^2)+(x^2y+y)=13y^2-1 \\ (x^2y+y)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} (x^2y+y)^2+(x^2y+y)=13y^2-1 \\ (x^2y+y)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} y^2(x^2+1)^2+y(x^2+1)=13y^2-1 \\ y(x^2+1)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y=a; \ x^2+1=b$, thay vào ta có:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a^2b^2+ab=13a^2-1 \\ ab+b=7a-1 \end{matrix}\right.$

 

Từ (2) $\rightarrow b=\dfrac{7a-1}{a+1}$ ($a \not = -1$)

 

Thay vào PT(1) ta có: $a^2(\dfrac{7a-1}{a+1})^2+\dfrac{a(7a-1)}{a+1}=13a^2-1$

 

$\iff (3a-1)(a-1)(12a^2+5a+1)=0$ 

 

$\iff a=\dfrac{1}{3}$     v    $a=1$

 

Vậy $a=1 \rightarrow b=3 \rightarrow x^2+1=3 \rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\pm \sqrt{2} \\  y=1 \end{matrix}\right.$

 

Với $a=\dfrac{1}{3} \iff b=1 \iff x=0;y=\dfrac{1}{3}$

 

p/s: Đã sửa,  mà cách bn Baoriven công nhận hay thật !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 20-08-2016 - 17:21

[Baoriven]

Bài 482: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y+1)=6y-2 \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 \end{matrix}\right.$

Lời giải khác cho Bài 482:

Điều kiện: $y\neq 0;y\neq -1$.

Khi đó: từ phương trình (1) suy ra:  

$x^2-2=\frac{4y-4}{y+1};x^2+3=\frac{9y+1}{y+1}$.

Thế vào phương trình (2) ta được:

$x^4y^2+x^2y^2+y+6y^2-2y=12y^2-1\Leftrightarrow (x^2-2)(x^2+3)y^2-y+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{4(y-1)(9y+1)y^2}{(y+1)^2}=y-1\Leftrightarrow y=1;or;4(9y+1)y^2=(y+1)^2\Leftrightarrow y=1;or;y=\frac{1}{3}$

Với $y=1$ thì $x=\pm \sqrt{2}$.

Với $y=\frac{1}{3}$ thì $x=0$.

 

P/S: Bạn leminhnghiatt giải thiếu 1 nghiệm thì phải. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 20-08-2016 - 14:18

[NTA1907]

Bài 483: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\dfrac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1 \\ &\sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

[L Lawliet]

Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1+x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Sai đề, đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=1+y-x+xy \\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}+12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Câu này đề cũng không chính xác. Đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$$

Khi đó đặt $x=\dfrac{a+1}{2}$ và $y=b-2$.

 

Các bạn nên kiểm tra kĩ nguồn đề trước khi post lên vì đề sai giải tốn thời gian vô ích lắm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-08-2016 - 16:15

[Baoriven]

Bài 331: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=1+y-x+xy \\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Lời giải bài 331:

Thế $y-x=7-7xy$ vào phương trình đầu, ta được: $x^3+y^3+6xy=8$

Đặt: $S=x+y; P=xy; S^2-4P\geq 0$.

Ta có: $S^3-3SP+6P-8=0\Leftrightarrow (S-2)(S^2+2S+4-3P)=0$.

*) Với $S=2$ thì: $y=2-x$ Thế vào phương trình hai, ta được: $x=1;or;x=\frac{5}{7}$.

Vậy ta được 2 nghiệm: $(x;y)=(1;1);(\frac{5}{7};\frac{9}{7})$.

*) Với $S^2+2S+4-3P=0$ thì $P=\frac{S^2+2S+4}{3}$.

Mặt khác: $S^2-4P\geq 0\Leftrightarrow -\frac{(S+4)^2}{3}\geq 0$.

Suy ra $S=-4$. Từ đó được: $P=4$.

Do đó ta được $(x;y)=(-2;-2)$. Thử lại không thỏa.

Kết luận ta được 2 nghiệm: $(x;y)=(1;1);(\frac{5}{7};\frac{9}{7})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 21-08-2016 - 15:53

[tuan25]

Bài 483: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\dfrac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1 \\ &\sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

Từ phương trình 2 ta đặt $\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y+3}=b\end{cases}\left(a>0;b\ge 0\right)}$
Khi đó phương trình đã cho có dạng $\sqrt{\left(a^2-ab\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)}=a+b$
$\Leftrightarrow \left(a^2-ab\right)^2+\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow \hept{\begin{cases}a^2-ab=0\\a=b\end{cases}}$
TH1 : $\hept{\begin{cases}a=0\\a=b\end{cases}\Rightarrow a=b=0\Rightarrow x=0;y=-3}$ (Vô lí vì $a>0$ )
TH2 : a=b $\Rightarrow x=y+3$ 
Thay vào phương trình 1 ta có 
 

[NTA1907]

Câu này đề cũng không chính xác. Đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} &8x^{3}+12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$$

Chị xem đề bài 187 chị sửa lại đúng chưa? Em thấy chị sửa lại không khác gì đề cũ cả...

----

Quên chưa sửa đề, sửa lại rồi em kiểm tra xem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-08-2016 - 16:07