Chủ đề này có 1255 trả lời

[NTA1907]

b) $\sqrt[3]{\frac{1}{3}-x^{2}}+\sqrt{x-\frac{2}{9}}=1$

ĐK: $x\geq \frac{2}{9}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{1}{3}-x^{2}}=a\Rightarrow a^{3}+x^{2}=\frac{1}{3}; \sqrt{x-\frac{2}{9}}=b\geq 0$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &a+b=1 \\ &a^{3}+b^{2}x=\frac{1}{3}-\frac{2x}{9} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a+b=1 \\ &a^{3}+x(b^{2}+\frac{2}{9})=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

Mà $a^{3}+x^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=b^{2}+\frac{2}{9}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &a+b=1 \\ &a^{3}+(b^{2}+\frac{2}{9})^{2}=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

Thay $a=1-b$ vào pt(2) ta được:

$(1-b)^{3}+(b^{2}+\frac{2}{9})^{2}=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow b^{4}-b^{3}+\frac{31}{9}b^{2}-3b+\frac{58}{81}=0$

$\Leftrightarrow 81b^{4}-81b^{3}+279b^{2}-243b+58=0$

$\Leftrightarrow b^{2}(81b^{2}-90b+25)+b(9b^{2}-12b+4)+266(b^{2}-2.\frac{13}{28}b+\frac{169}{784})+\frac{37}{56}=0$

$\Leftrightarrow b^{2}(9b-5)^{2}+b(3b-2)^{2}+266(b-\frac{13}{28})^{2}+\frac{37}{56}=0$

$\Rightarrow$ Pt vô nghiệm

[leminhnghiatt]

Bài 46: $x^{2}+4x+5-\dfrac{3x}{x^{2}+x+1}=(x-1)\left ( 1-\dfrac{2-\sqrt{1-x}}{x^{2}+x+1} \right )$

ĐK: $x \leq 1$

 

$x^2+4x+5-\dfrac{3x}{x^2+x+1}=x-1-\dfrac{2x-2-(x-1)\sqrt{1-x}}{x^2+x+1}$

 

$\iff x^2+3x+6 +\dfrac{-x-2+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1}=0$

 

$\iff x^2+3x+3+(3+\dfrac{-x-2+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1})=0$

 

$\iff (x^2+3x+3)+\dfrac{3x^2+2x+1+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1}=0$

 

Dễ thấy VT $>0$ nên pt vô nghiệm.

[leminhnghiatt]

góp thêm vài bài :

$56)\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

ĐK: $5x^2+14x+9 \geq 0$; $x^2-x-20 \geq 0$; $x \geq -1$

 

$\sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{x+1}$

 

$\iff 5x^2+14x+9=x^2-x-20+25x+25+10\sqrt{(x+1)(x-5)(x+4)}$

 

$\iff 4x^2-10x+4=10\sqrt{(x+4)(x^2-4x+5)}$

 

$\iff 4(x^2-4x+5)+6(x+4)=10\sqrt{(x+4)(x^2-4x+5)}$

 

$\iff (2\sqrt{x^2-4x+5}-3\sqrt{x+4})(\sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x+4})=0$

 

Đến đây, bình phương sẽ tìm ra nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 17-01-2016 - 17:10

[royal1534]

Tài liệu quý và hay cuối cùng cũng post đc

Đây cũng là cuốn PT và HPT của Diễn đàn Mathscope 

Tài liệu luyện thi Olympic toán học miền nam 

Tài liệu rất hay.Cảm ơn bạn 

P/s: Mình có 1 ý kiến thế này.Để topic thêm phần thiết thực và tính thẫm mỹ mình nghĩ những tài liệu hay và có ích như thế này nên được bạn chủ topic (haichau0401) dồn lại và đặt ở phần đầu của topic.

[I Love MC]

Bàn thêm về pp giải phương trình bậc $3$ . 
Kết hợp với máy casio . Nếu máy cho ta $3$ nghiệm. Ta sẽ dùng pp sau : 
Xét pt bậc $3$ có $3$ nghiệm : $ax^3+bx^2+cx+d=0$ là $x_1,x_2,x_3$ 
Theo định lí Vieta cho pt bậc $3$ ta được 
$x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a},x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},x_1x_2x_3=\frac{-d}{a}$ 
Đây là hệ đơn giản. Mình nghĩ các bạn giải được (hướng dẫn thế $x_1+x_2=\frac{-b}{a}-x_3,x_1x_2=\frac{-d}{a.x_3}$ thế vào rồi giải. 
TH pt chỉ có một nghiệm duy nhất thì các bạn có thể sử dụng pp đồng nhất hệ số,hệ số bất định để giải quyết. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 17-01-2016 - 21:07

[I Love MC]

Phương pháp Cardano : Trâu bò nhưng rất đáng để sử dụng giải quyết các pt bậc $3$ hóc búa 
Với $a,b,c$ bất kỳ, ta có:
$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ad)$$
Bây giờ giả sử cần giải phương trình bậc 3
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,,, (1)$$
Ta đặt $y=x+k$, thế vào phương trình $(1)$, lại nhân hết ra, nhận được phương trình mới với ẩn $y$ và tham số $k$. Ta tìm $k$ sao cho trong phương trình này không có $y^2$. Như vậy có thể chọn được $k$ sao cho phương trình (1) đưa về dạng
$$uy^3+vy+t=0,,, (2)$$
Nếu $u=0$ thì coi như phương trình giải xong.
Nếu $u \neq 0$ thì ta chia 2 vế phương trình $(2)$ cho $u$, nhận được phương trình tương đương
$$ x^3+qx+r=0 (3) $$
Bước tiếp theo, ta tìm 2 số $a,b$ sao cho chúng thỏa mãn cả 2 điều kiện sau :
$$r=a^3+b^3,,,, (*)$$
$$q=-3ab,,, (**)$$
Hai số này luôn tim được trên tập số thực hoặc phức (chỉ cần dùng định lý Viet đảo cho 2 số $a^3 $ và $ b^3$)
Thay các biểu thức (*)và (**) vào phương trình $(3)$ nhận được phương trình tương đương
$$x^3+a^3+b^3-3xab=0 (4)$$
Theo đẳng thức anh nêu ra ban đầu thì vế trái phương trình trên bằng
$$(x+a+B)(x^2+a^2+b^2-xa-xb-ab)$$
 $x^2+a^2+b^2-xa-xb-ab geq 0$ và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=a=b$
Thế nên tư đây dễ dàng giải được $(4)$ và do đó, cả $(1)$

[leminhnghiatt]

góp thêm vài bài :

$58)(x^2-6x+11)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7)\sqrt{x-2}$

ĐK: $x \geq 2$

 

Ta có: $\iff (x^2-x+1-5x+10)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-x+1-3x+6)\sqrt{x-2}$

 

$\iff (x^2-x+1)\sqrt{x^2-x+1}-5(x-2)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-x+1)\sqrt{x-2}-6(x-2)\sqrt{x-2}$

 

Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=a; \sqrt{x-2}=b$, thay vào ta có:

 

$\iff a^3-5b^2a-2a^2b+6b^3=0$

 

$\iff (a+2b)(a-3b)(a-b)=0$

 

$\iff a=3b$  v   $a=b$

 

Đến đây, bình phương mỗi vế ta sẽ tìm đc nghiệm.

[haichau0401]

Mọi người cùng tiếp tục xây dựng topic nhé 

Bài 59: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2y}=2(y^2-x^2) & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}=(3x^2+y^2)(x^2+3y^2) & & \end{matrix}\right.$

Bài 60: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-y^2}) & & \\ \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 18-01-2016 - 21:48

[Kira Tatsuya]

góp thêm vài bài :

$57)\frac{2}{3}\sqrt{4x+1}-9x^2+26x+\frac{37}{3}=0\\ 58)(x^2-6x+11)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7)\sqrt{x-2}$

bài $57$ sửa đề lại là $-\frac{37}{3}$ , mình ghi nhầm 

có ai ra 2 bài này chưa, không thì mình post gợi ý 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 18-01-2016 - 17:06

[haichau0401]

bài $57$ sửa đề lại là $-\frac{37}{3}$ , mình ghi nhầm 

có ai ra 2 bài này chưa, không thì mình post gợi ý 

Óa.... hóa ra là đề sai!

Vậy thì đây là một dạng đưa về hệ đối xứng rồi!

Ta đặt:

$\sqrt{4x + 1}=3y-4$

$\left\{ \begin{array}{l} 9{x^2} = 2y + 26x - 15 \\ 9{y^2} = 4x + 24y - 15 \\ \end{array} \right.$

Đến đây thì dc rồi nhỉ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 18-01-2016 - 17:24

[Kira Tatsuya]

Óa.... hóa ra là đề sai!

Vậy thì đây là một dạng đưa về hệ đối xứng rồi!

Ta đặt:

$\sqrt{4x + 1}=3y-4$

$\left\{ \begin{array}{l} 9{x^2} = 2y + 26x - 15 \\ 9{y^2} = 4x + 24y - 15 \\ \end{array} \right.$

Đến đây thì dc rồi nhỉ!

xin lỗi, nãy làm lại mới thấy, vậy còn bài còn lại mình sẽ tạm thời chưa post cách giải

[Phanbalong]

59)  $\sqrt{7x^2+20x-86}+x\sqrt{31-4x-x^2}=3x+2$
60)   $x^2+4x+5-\frac{3x}{x^2+x+1}=(x-1)(1-\frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2+x+1}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 18-01-2016 - 20:20

[leminhnghiatt]

2)   $x^2+4x+5-\frac{3x}{x^2+x+1}=(x-1)(1-\frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2+x+1}})$

 

ĐK: $x \leq 1$

 

$x^2+4x+5-\dfrac{3x}{x^2+x+1}=x-1-\dfrac{2x-2-(x-1)\sqrt{1-x}}{x^2+x+1}$

 

$\iff x^2+3x+6 +\dfrac{-x-2+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1}=0$

 

$\iff x^2+3x+3+(3+\dfrac{-x-2+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1})=0$

 

$\iff (x^2+3x+3)+\dfrac{3x^2+2x+1+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1}=0$

 

Dễ thấy VT $>0$ nên pt vô nghiệm.

 

 

Đã có ở trên rồi bạn! 

[gianglqd]

59)  $\sqrt{7x^2+20x-86}+x\sqrt{31-4x-x^2}=3x+2$
60)   $x^2+4x+5-\frac{3x}{x^2+x+1}=(x-1)(1-\frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2+x+1}})$

Bài 59:(Thực tế là 61) Vắn tắt:

$PT\Leftrightarrow [\sqrt{7x^2+20x-86}-2(x+1)]+(x\sqrt{31-4x-x^2}-x)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(x^{2}+4x-30)}{A}+\dfrac{x(x^{2}+4x-30)}{B}=0$ ( $A, B$ là mẫu trong phần liên hợp)

Tới đây dễ rồi......

[gianglqd]

Bài 62: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15} - \sqrt[3]{x^{3}-5x+1} = 2x+2$

Bài 63: $x^{3}-3x^{2}+2x-2-\sqrt{x+1}.\sqrt[3]{3x-1}=0$

Bài 64: $\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$ (trích bài của bạn leminhnghiatt)

Bài 65: $\sqrt{5x-1}+\sqrt{3-x}\leq 2(3x-2)$ (trích bài của bạn nguyenhien2000)

Bài 66: $(x^{2}-x)\sqrt{2x+1}\leq x^{3}-2x-1$ (trích bài của bạn nguyenhien2000)

Bài 67: $\sqrt{(x-1)(x^{3}+1)}\leq 3-x-x^{2}$ (trích bài của bạn nguyenhien2000)

Bài 68: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+y+6}=1-y\\9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{matrix}\right.$ (trích bài của bạn youngahkim)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 18-01-2016 - 20:52

[Phanbalong]

Bài 59:(Thực tế là 61) Vắn tắt:

$PT\Leftrightarrow [\sqrt{7x^2+20x-86}-2(x+1)]+(x\sqrt{31-4x-x^2}-x)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(x^{2}+4x-30)}{A}+\dfrac{x(x^{2}+4x-30)}{B}=0$ ( $A, B$ là mẫu trong phần liên hợp)

Tới đây dễ rồi......

Anh có thể giải cụ thể ra không anh , nghiệm của bài là $x_{1}=\sqrt{34}-2$ và $x_{2}=-2-\sqrt{19}$

[dunghoiten]

Bài 62: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15} - \sqrt[3]{x^{3}-5x+1} = 2x+2$

 

 

$(2x+1-\sqrt[3]{12x^2+46x-15})+(1+\sqrt[3]{x^3-5x+1})=0$

$\iff \dfrac{8(x^3-5x+2)}{A}+\dfrac{x^3-5x+2}{B}=0$

$\iff (x^3-5x+2)(...)=0$

 

đến đây không khó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 18-01-2016 - 21:06

[dunghoiten]

Mọi người cùng tiếp tục xây dựng topic nhé 

Bài 59: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2y}=2(y^2-x^2) & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}=(3x^2+y^2)(x^2+3y^2) & & \end{matrix}\right.$

PT (1) là :$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2y}$ hay $\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2y}$ hả anh?

[haichau0401]

PT (1) là :$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2y}$ hay $\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2y}$ hả anh?

ak... mình nhầm.... đề là $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2y}$ nhé!

[gianglqd]

Anh có thể giải cụ thể ra không anh , nghiệm của bài là $x_{1}=\sqrt{34}-2$ và $x_{2}=-2-\sqrt{19}$

 

Bài 59:(Thực tế là 61) Vắn tắt:

$PT\Leftrightarrow [\sqrt{7x^2+20x-86}-2(x+1)]+(x\sqrt{31-4x-x^2}-x)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(x^{2}+4x-30)}{A}+\dfrac{x(x^{2}+4x-30)}{B}=0$ ( $A, B$ là mẫu trong phần liên hợp)

Tới đây dễ rồi......

Tiếp nè:

$\Leftrightarrow (x^{2}+4x-30)\left ( \dfrac{3}{A}-\dfrac{x}{B} \right )=0$......

Một cái là PT bậc 2, cái còn lại thì làm 1 vòng TT như vậy nữa là ra nghiệm còn lại thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 18-01-2016 - 21:59