Chủ đề này có 1255 trả lời

[Kira Tatsuya]

Mọi người cùng tiếp tục xây dựng topic nhé 

Bài 60: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-y^2}) & & \\ \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} & & \end{matrix}\right.$

có ai đánh giá được phương trình thứ 2 là $\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\geq\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$ chưa vậy? làm mãi không ra 

[NTA1907]

Bài 66: $(x^{2}-x)\sqrt{2x+1}\leq x^{3}-2x-1$ (trích bài của bạn nguyenhien2000)

ĐK: $x\geq \frac{-1}{2}$

Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{2}}=t$

Khi đó ta có:

$(x^{2}-x)t\leq x^{3}-t^{2} \Leftrightarrow (x^{2}+t)(x-t)\geq 0$

Mà $x^{2}+t> 0$ nên $x\geq t$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x\geq 0 \\ &x^{2}-2x-1\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x\geq 1+\sqrt{2}$

[haichau0401]

Bài 63: $x^{3}-3x^{2}+2x-2-\sqrt{x+1}.\sqrt[3]{3x-1}=0$

Bài 63:

Ta có:

$pt\Leftrightarrow x^3-3x^2+2x-6-\sqrt{x+1}(\sqrt[3]{3x-1}-2)-2(\sqrt{x+1}-2)=0\\\Leftrightarrow(x-3)(x^2+2)-\frac{3(x-3)\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}+2\sqrt[3]{3x-1}+4}-2\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=0\\\Leftrightarrow x=3 (TM)$

Bài 65:

Ta có:

$pt\Leftrightarrow \sqrt{5x-4}-(3x-\frac{3}{2})+\sqrt{3-x}-(3x-\frac{5}{2})\leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-9x^2+14x-\dfrac{13}{4}}{\sqrt{5x-4}+3x-\dfrac{3}{2}}+\dfrac{-9x^2+14x-\dfrac{13}{4}}{\sqrt{3-x}+3x-\dfrac{5}{2}}\leq 0$

$\Leftrightarrow \left ( -9x^2+14x-\dfrac{13}{4} \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt{5x-1}+3x-\dfrac{3}{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-x}+3x-\dfrac{5}{2}} \right )\leq 0$

Đến đây mọi người tự xét dấu nhé 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 18-01-2016 - 22:27

[gianglqd]

Bài 64: $\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$ (trích bài của bạn leminhnghiatt)

$PT\Leftrightarrow \left (\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} \right )+\left ( \dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} \right )=0$

$\Leftrightarrow 2.\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\left (\dfrac{1}{\sqrt{x+3}[(\sqrt{x}+1)+\sqrt{x+3}]}-\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}[(\sqrt{x}+1)+\sqrt{3x+1}]} \right )=0$

Tới đây ngoặc đầu nghiệm $x=1$. Ngoặc sau 

$\Rightarrow \sqrt{x+3}=\sqrt{3x+1}$ có nghiệm $x=1$ luôn

[anhquannbk]

Bài 69: (Bài của bạn binvippro trên diễn đàn)

$ \left\{\begin{matrix} x+y+z=8 & \\ 4xyz-(x+9y+16z)=12 & \end{matrix}\right. $

[gianglqd]

Bài 60: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-y^2}) & & \\ \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} & & \end{matrix}\right.$

 

Đầu tiên đánh giá PT $(2)$ ta CM $\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\geq\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$

Đã được An CM ở đây: http://diendantoanho...2sqrt1xy-với-x/

Dấu '=' khi $x=y$

Thay vào PT $(1)$ ta được: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=x+2x\sqrt{1-x^{2}}$ 

Tới đây bình phương sẽ được một PT chỉ toàn bậc 4 và bậc 2 giải TT PT bậc 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 18-01-2016 - 22:25

[royal1534]

Mọi người cùng tiếp tục xây dựng topic nhé 

Bài 59: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2y}=2(y^2-x^2) & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}=(3x^2+y^2)(x^2+3y^2) & & \end{matrix}\right.$

 

Hình như đề sai à anh.Phải là $2(y^{4}-x^{4})$ chứ nhỉ

 

Lời giải:

Lần lượt cộng và trừ 2 PT cho nhau ta có:

$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x}=2y^{4}-2x^{4}+3y^{4}+3x^{4}+10x^{2}y^{2}  &\\ \frac{1}{y}=3x^{4}+3y^{4}+10x^{2}y^{2}-2y^{4}+2x^{4} \end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=5y^{4}x+x^{5}+10x^{3}y^{2} &\\ 1=5x^{4}y+y^{5}+10x^{2}y^{3} \end{matrix}\right.$

Tiếp tục cộng và trừ 2 hai PT cho nhau ta có

$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{5}=3 & \\ (x-y)^{5}=1 \end{matrix}\right.$

Đến đây chắc giải tiếp được

[I Love MC]

Từ một bài toán cơ bản :  
Bài 70 : Giải pt : $\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}=\sqrt[3]{4x-3}$ 
Ta có thể tổng quát bài toán  : 
Giải pt : $\sqrt[3]{a_1x+b_1}+\sqrt[3]{a_2x+b_2}+\sqrt[3]{a_3x+b_3}=\sqrt[3]{(a_1+a_2+a_3)x+b_1+b_2+b_3}$ ($a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ là các tham số) 

[NTA1907]

Bài 70 : Giải pt : $\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}=\sqrt[3]{4x-3}$ 

Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=a, \sqrt[3]{5-x}=b, \sqrt[3]{2x-9}=c$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=4x-3$

Khi đó ta có:

$a+b+c=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+2abc)=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Đến đây dễ rồi

Dạng tổng quát ta làm tương tự thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 19-01-2016 - 12:38

[leminhnghiatt]

Từ một bài toán cơ bản :  
Bài 70 : Giải pt : $\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}=\sqrt[3]{4x-3}$

 

 

(Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=a;\sqrt[3]{2x-9}=b, \sqrt[3]{5-x}=c ;\sqrt[3]{4x-3}=d$

 

$\iff a+b+c=d \iff a+b=d-c \Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2-2cd+d^2$ 

 

$\iff \sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{2x-9}+\sqrt[3]{5-x}-\sqrt[3]{4x-3}=0$ 

 

$\iff \dfrac{ 5x-8}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{8-5x}{c^2+cd+d^2}=0$

 

$\iff 5x=8$  v   $\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{1}{c^2+cd+d^2}$

 

$\iff x=\dfrac{8}{5}$  v   $a^2-ab+b^2=c^2+cd+d^2$

 

$\iff \begin{cases} &  a^2+2ab+b^2=c^2-2cd+d^2 \\  &  a^2-ab+b^2=c^2+cd+d^2 \end{cases}$

 

Trừ vế cho vế ta đc: $3ab=-3cd \iff ab=-cd \iff \sqrt[3]{(3x+1)(2x-9)}=-\sqrt[3]{(5-x)(4x-3)}$ 

 

Lập phương lên ta sẽ có kết quả..

[I Love MC]

Link download  tài liệu mới  https://www.dropbox....rinh-dai-so.pdf

[NTA1907]

Bài 71: Giải các phương trình:

a, $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[3]{1+x^{3}}+\sqrt[3]{1-x^{3}}+\sqrt[4]{1+x^{4}}+\sqrt[4]{1-x^{4}}=6$

b, $\sqrt[4]{2-x^{4}}=x^{2}-3x+4$

[leminhnghiatt]

Bài 71: Giải các phương trình:

a, $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[3]{1+x^{3}}+\sqrt[3]{1-x^{3}}+\sqrt[4]{1+x^{4}}+\sqrt[4]{1-x^{4}}=6$

 

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{(1+1)(1+x^2+1-x^2)}=2 \ (1)$

 

Dễ dàng cm ddc bđt: $4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3$ (có thể dùng biến đổi tương đương)

 

Áp dụng ta có: $\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3} \leq \sqrt[3]{4.(1-x^3+1+x^3)}=2 \ (2)$

 

Ta lại có bđt: $8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4$

 

CM: $VT \iff a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$

 

Áp dụng: $\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq \sqrt[4]{8(1-x^4+1+x^4)}=2 \ (3)$

 

Lấy $(1)+(2)+(3)$ $\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq 6$

 

Dấu $'='$ xảy ra khi: $x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 19-01-2016 - 15:18

[leminhnghiatt]

Bài 71: Giải các phương trình:

b, $\sqrt[4]{2-x^{4}}=x^{2}-3x+4$

 

Áp dụng bđt: $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4)$

 

Ta có: $x+\sqrt[4]{2-x^4} \leq \sqrt[4]{8(x^4+2-x^4)}=2$

 

Ta có: $x^2-2x+4=(x-1)^2+3 \geq 3 > 2$

 

$=> x^2-2x+4 > x+\sqrt[4]{2-x^4}$

 

$\iff x^2-3x+4 > \sqrt[4]{2-x^4}$

 

Vậy pt vô nghiệm.

[Phanbalong]

72) $x^2-9=(8x^3-28x^2+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$
73) $2x\sqrt{x}+\frac{5-4x}{\sqrt{x}}\geq \sqrt{x+\frac{10}{x}-2}$
74) $6\sqrt{x}-5x+32=3(4\sqrt{4x-x^2}-3\sqrt{4-x})$
75) $2\sqrt{-2x^2+5x+7}=x^3-3x^2-x+12$ 
P/s : Có một số bài nếu đã đăng trước các bạn nói với mình để mình xóa chứ mình cũng không biết là bài nào có rồi bài nào chưa 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 19-01-2016 - 17:47

[leminhnghiatt]

73) $2x\sqrt{x}+\frac{5-4x}{\sqrt{x}}\geq \sqrt{x+\frac{10}{x}-2}$

 

 

ĐK: $x \geq 0$

 

BPT $\iff 2x^2+5-4x \geq \sqrt{x^2-2x+10}$

 

$\iff 2(x-1)^2+3 \geq \sqrt{(x-1)^2+9}$

 

Đặt $(x-1)^2=t (t \geq 0)$

 

$\iff 2t+3 \geq \sqrt{t+9}$

 

$\iff 4t^2+11t \geq 0$

 

$\iff t(4t+11) \geq 0$ (luôn đúng với mọi t)

 

Vậy bpt có nghiệm : $x \geq 0$ 

 

Dấu = có khi: $x=1$

[robot3d]

Lấy $(2)-(1)$ ta được: $x^{2}y^{3}-y^{2}x+xy-y=0\Leftrightarrow y(x^{2}y^{2}-xy+x-1)=0$

Tới đây ai có ý gì không

khúc sau làm ntn nhỉ? 

[robot3d]

75) $2\sqrt{-2x^2+5x+7}=x^3-3x^2-x+12$ (1)
 

dk:  $x\epsilon \left [ -1;3,5 \right ]$

(1) tương đương : $6\sqrt{-2x^2+5x+7}=3(x^3-3x^2-x+12)$

ta có $-2x^2+5x+16\geq 6\sqrt{-2x^2+5x+7}=>-2x^2+5x+16\geq 3(x^3-3x^2-x+12)=>(x-2)^2(3x+5)\leq 0$ 

do dk nên 3x+5>0

dtxr khi -2x^2+5x+7=9 và $(x-2)^2=0$=>x=2

thử lại nhận nghiệm.      

[thaibuithd2001]

dk:  $x\epsilon \left [ -1;3,5 \right ]$

(1) tương đương : $6\sqrt{-2x^2+5x+7}=3(x^3-3x^2-x+12)$

ta có $-2x^2+5x+16\geq 6\sqrt{-2x^2+5x+7}=>-2x^2+5x+16\geq 3(x^3-3x^2-x+12)=>(x-2)^2(3x+5)\leq 0$ 

do dk nên 3x+5>0

dtxr khi -2x^2+5x+7=9 và $(x-2)^2=0$=>x=2

thử lại nhận nghiệm.      

1 cách khác

ĐKXĐ:-1 $\leq$ $x$ $\leq$ $\frac{7}{2}$ 

Ta trừ 2 vế cho 6 , VP phân tích thành nhân tử vế trái nhân lượng liên hợp ta đc phương trình tích sau 

 $(2-x)\left [ \frac{2-4x}{\sqrt{2x^{2}+5x+7}+3}+x^{2}-x-3 \right ]$=0

Mặt khác từ (1) thì $\frac{2-4x}{\sqrt{2x^{2}+5x+7}+3}+x^{2}-x-3$ $\neq$ 0  nên 2-$x$=0 => $x$=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 20-01-2016 - 05:43

[leminhnghiatt]

74) $6\sqrt{x}-5x+32=3(4\sqrt{4x-x^2}+3\sqrt{4-x})$

 

Chắc đề phải sửa ở trong ngoặc là dấu $+$ rồi...

 

ĐK: $0 \leq x \leq 4$

 

Đặt $\sqrt{x}=a (a \geq 0) ; \sqrt{4-x}=b(b \geq 0) \iff a^2+b^2=4$

 

PT $\iff 6\sqrt{x}+3x+8(4-x)-12\sqrt{x(4-x)}-9\sqrt{4-x}=0$

 

$\iff 6a+3a^2+8b^2-12ab-9b=0$

 

$\iff (4a^2-12ab+9b^2)+3(2a-3b)-4=0$

 

$\iff (2a-3b)^2+3(2a-3b)-4=0$

 

$\iff (2a-3b+4)(2a-3b-1)=0$

 

Đến đây thay $a,b$ vào và bình phương sẽ tìm đc nghiệm $x$