Chủ đề này có 1 trả lời

[bvptdhv]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với các số thực a,b nằm trong $[1;3]$, $max${$a,b,c$}$ \geq 2$ và $a+b+c=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 12-01-2016 - 19:20

[Chris yang]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với các số thực a,b nằm trong $[1;3]$, $max${$a,b,c$}$ \geq 2$ và $a+b+c=5$

Giải như sau:

Giả sử $a\geq b\geq c$. Ta có $a$ là max nên $a\geq 2$. Nếu $b\geq 2$ thì $c=5-a-b\leq 1$ ( vô lý) nên $b\leq 2$. Kéo theo $c\leq 2$

$\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\geq 0\Leftrightarrow abc+12\geq 2(ab+bc+ac)$

Mặt khác $(a-2)(b-2)\leq 0\Rightarrow ab+2c\leq 6$. Theo AM-GM thì $ab+2c\geq 2\sqrt{2abc}$ nên $abc\leq\frac{9}{2}$

$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\leq\frac{33}{2}\Rightarrow P\geq\frac{17}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $(a,b,c)=\left (2,\frac{3}{2},\frac{3}{2} \right)$ và các hoán vị tương ứng