Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE = góc CAF. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F lên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, chứng minh diện tích tứ giác AMDN bằng diện tích tam giác ABC.
Chứng minh diện tích tứ giác AMDN bằng diện tích tam giác ABC
#2
Đã gửi 13-01-2016 - 20:39
Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE = góc CAF. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F lên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, chứng minh diện tích tứ giác AMDN bằng diện tích tam giác ABC.
Đặt $\widehat{BAE}=\widehat{CAF}=\alpha, \widehat{EAF}=\beta$
Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AF.sin(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}AC.AF.sin(\alpha)=\frac{AF}{4R}(AB.CD+AC.BD)$
Diện tích tứ giác $ADMN$ là: $S_{AMDN}=\frac{1}{2}AD.AN.sin(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}AM.AD.sin(\alpha)$
$=\frac{1}{2}AD[AF.cos(\alpha+\beta).sin(\alpha)+AF.cos(\alpha).sin(\alpha+\beta)]$
$=\frac{1}{2}AD.AF.sin(2\alpha+\beta)=\frac{AF}{4R}AD.BC$
Vì tứ giác $ABDC$ nội tiếp đường tròn nên theo định lý $Ptoleme$ ta có: $AB.CD + AC.BD = AD.BC$
Do đó ta có $đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 13-01-2016 - 21:00
- quanguefa, ineX và Unstopable thích
#3
Đã gửi 13-01-2016 - 20:59
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh