Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh diện tích tứ giác AMDN bằng diện tích tam giác ABC

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE = góc CAF. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F lên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, chứng minh diện tích tứ giác AMDN bằng diện tích tam giác ABC.


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#2
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE = góc CAF. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F lên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, chứng minh diện tích tứ giác AMDN bằng diện tích tam giác ABC.

Đặt $\widehat{BAE}=\widehat{CAF}=\alpha, \widehat{EAF}=\beta$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AF.sin(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}AC.AF.sin(\alpha)=\frac{AF}{4R}(AB.CD+AC.BD)$

Diện tích tứ giác $ADMN$ là: $S_{AMDN}=\frac{1}{2}AD.AN.sin(\alpha+\beta)+\frac{1}{2}AM.AD.sin(\alpha)$ 

                                                                $=\frac{1}{2}AD[AF.cos(\alpha+\beta).sin(\alpha)+AF.cos(\alpha).sin(\alpha+\beta)]$

                                                                $=\frac{1}{2}AD.AF.sin(2\alpha+\beta)=\frac{AF}{4R}AD.BC$

Vì tứ giác $ABDC$ nội tiếp đường tròn nên theo định lý $Ptoleme$ ta có: $AB.CD + AC.BD  = AD.BC$ 

Do đó ta có $đpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 13-01-2016 - 21:00


#3
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
Đòng 4 phải là S.ADMN

"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#4
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Đòng 4 phải là S.ADMN

AMDN bạn ơi :3


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh