Chủ đề này có 1 trả lời

[minhanhminoz]

cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x^2+y^2+z^2=1

Max P=  $\frac{x^2}{2x^2+2yz+1}$ + $\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}$ + $\sqrt{x+y}$

[NTA1907]

cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x^2+y^2+z^2=1

Max P=  $\frac{x^2}{2x^2+2yz+1}$ + $\frac{y^2}{2y^2+2xz+1}$ + $\sqrt{x+y}$

Ta có:

$(y+z)^{2}+x^{2}=1+2yz\geq 2x(y+z)$

$\Leftrightarrow 2yz\geq 2xy+2zx-1$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{2x^{2}+2yz+1}\leq \frac{x^{2}}{2x^{2}+2xy+2zx-1+1}=\frac{x}{2(x+y+z)}$

Tương tự: $\frac{y^{2}}{2y^{2}+2zx+1}\leq \frac{y}{2(x+y+z)}$

$\Rightarrow P\leq \frac{x+y}{2(x+y+z)}+x+y$

Mà $1=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$ nên $x+y\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\frac{x+y}{x+y}+\sqrt[4]{2}=\frac{1}{2}+\sqrt[4]{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}, z=0$