Chủ đề này có 1 trả lời

[youngahkim]

cho $x,y,z \epsilon [0;2]$, $x+y+z=3$. tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{x^{2}+z^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$

 

[quoccuonglqd]

Max:Cực trị đạt tại $x=y=z$

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có $ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq x+y+z=3$

Ta chứng minh $\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(x+y)^2}{2(x^2+y^2+2)}+\sum \frac{(x-y)^2}{2(x^2+y^2+2)}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng C-S:$\sum \frac{(x+y)^2}{2(x^2+y^2+2)}\geq \frac{2(x+y+z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+6}$

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{2(x^2+y^2+2)}\geq \frac{2(x-z)^{2}}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+6}$

Ta cần chứng minh $2(x+y+z)^2+2(x-z)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)+(z+y+x)^2$

$\Leftrightarrow (x-y)(y-z)\geq 0$(đúng theo giả sử)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-01-2016 - 16:03