Chủ đề này có 7 trả lời

[huyson2k]

Cho x,y,z là các số thực không âm đôi một khác nhau 

C/m : $(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2})\geq 9$

[huonggiangnguyenngoc]

Cho x,y,z là các số thực không âm đôi một khác nhau 

C/m : $(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2})\geq 9$

Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta có quyền giả sử y là số lớn nhất trong ba số x,y,z

Dễ dàng cm được bổ đề $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

do đó ta có $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}\geq \frac{8}{(x-z)^{2}}\rightarrow$ 

$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{(x-z)^{2}}$

do đó $VT\geq \frac{9(xy+yz+zx)}{(x-z)^{2}}. Do đó phải cm \frac{9(xy+yz+zx)}{(x-z)^{2}}\geqslant 9$. Thật vậy ta có: $\frac{xy+yz+zx}{(x-z)^{2}}\geqslant 1\Leftrightarrow xy+yz+3zx-x^{2}-z^{2}\geqslant 0\Leftrightarrow x(y-x)+z(y-z)+3xz\geq 0$(lad BĐT đúng vì x,y,z lớn hơn hoặc bằng 0. y là số lớn nhất)

vậy suy ra đpcm. Dấu bắng không xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-01-2016 - 21:05

[vta00]

Cho $z=0,x=1,y=\frac{1}{2}$ thì bất đẳng thức sai

[Nguyenhuyen_AG]

Cho x,y,z là các số thực không âm đôi một khác nhau 

C/m : $(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2})\geq 9$

 

Bất đẳng thức sai với $a=\frac{1}{2},\,b=\frac{1}{17},\,c=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 14-01-2016 - 21:37

[huyson2k]

Sorry các bạn ,bài khác này :

Cho x,y không âm .C/m: $\left ( 1+xy \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

[NTA1907]

Sorry các bạn ,bài khác này :

Cho x,y không âm .C/m: $\left ( 1+xy \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

ÁP dụng bđt Cô-si ta có:

$(1+xy)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 2\sqrt{xy}.\frac{2}{\sqrt{xy}}=4$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=1$

[TMW]

 

Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta có quyền giả sử y là số lớn nhất trong ba số x,y,z

Dễ dàng cm được bổ đề $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

do đó ta có $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}\geq \frac{8}{(x-z)^{2}}\rightarrow$ 

$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{(x-z)^{2}}$

do đó $VT\geq \frac{9(xy+yz+zx)}{(x-z)^{2}}. Do đó phải cm \frac{9(xy+yz+zx)}{(x-z)^{2}}\geqslant 9$. Thật vậy ta có: $\frac{xy+yz+zx}{(x-z)^{2}}\geqslant 1\Leftrightarrow xy+yz+3zx-x^{2}-z^{2}\geqslant 0\Leftrightarrow x(y-x)+z(y-z)+3xz\geq 0$(lad BĐT đúng vì x,y,z lớn hơn hoặc bằng 0. y là số lớn nhất)

vậy suy ra đpcm. Dấu bắng không xảy ra

 

Chứng minh này sai chỗ nào nhỉ ?

[Nguyenhuyen_AG]

Chứng minh này sai chỗ nào nhỉ ?

 

Giả sử $y$ là số lớn nhất trong ba số $x,\,y,\,z.$ Do đó ta có $$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}\geq \frac{8}{(x-z)^{2}}$$

 

Chỗ này.