Chủ đề này có 8 trả lời

[chanhquocnghiem]

Xem Trái Đất như một khối cầu tâm $O$.

Thành phố $S$ có tọa độ $11^o$ vĩ Bắc, $106^o30'$ kinh Đông.

Thành phố $P$ có tọa độ $49^o$ vĩ Bắc, $2^o30'$ kinh Đông.

Tính số đo góc $\widehat{POS}$ ?

[E. Galois]

Phương trình tham số của mặt cầu Trái Đất là:

$$\begin{cases}x=R\cos \varphi \cos \lambda \\ y = R\cos \varphi \sin \lambda \\ z = R \sin \varphi \end{cases}$$

Trong đó $\varphi $ là vĩ độ (mang dấu dương khi điểm đang xét ở Bán cầu Bắc, mang dấu âm khi ở Bán cầu Nam), $\lambda$ là kinh độ (mang dấu dương khi ở Bán cầu Đông, dấu âm khi ở Bán cầu Tây)

Ta có tọa độ của $S,P$ là

$$S(R\cos \varphi_S \cos \lambda_S ; R\cos \varphi_S \sin \lambda_S ; R \sin \varphi_S), \quad P(R\cos \varphi_P \cos \lambda_P ; R\cos \varphi_P \sin \lambda_P ; R \sin \varphi_P)$$

 

$$\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OS}=R^2 \left [ \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S \right ]$$

 

\begin{equation} \label{eq:1} \boxed{\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \frac{\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OS}}{OP.OS} = \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S} \end{equation}

 

Theo bài, $\varphi_S = 11^o, \lambda_S = 106,5^o, \varphi_P=49^o, \lambda_P=2,5^o$, ta có:

$$\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \cos 49^o \cos 11^o \cos 104^o + \sin 11^o \sin 49^o \approx -0,01179$$

Vậy $\widehat{POS} \approx 90^o40’32’’$

[chanhquocnghiem]

Wow ! Rất chính xác ! 

Tiếp tục nhé !

 

Tính diện tích phần bề mặt Trái Đất giới hạn bởi các vĩ tuyến $11^o$ Bắc, $49^o$ Bắc và các kinh tuyến $2^o30'$ Đông, $106^o30'$ Đông ?

(Vẫn xem Trái Đất là khối cầu tâm $O$ có bán kính $R$)

[E. Galois]

Trước hết ta tìm công thức tính diện tích phần mặt cầu giới hạn bởi hai đường vĩ tuyến. (Người ta gọi là hình đớt cầu)

 

Dễ thấy hình đớt cầu là mặt tròn xoay có được nhờ quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục $Ox$:

$$y=\sqrt{R^2-x^2} \quad \text{(nửa đường tròn tâm O phía trên trục hoành)}, \quad x = a, x = b, \quad (0<a<b \leq R)$$

Áp dụng công thức:

$$S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}dx$$

Ta có:

\begin{equation} \label{eq:2} S_{(R,a,b)}=2\pi\int_{a}^{b}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}dx = 2\pi\int_{a}^{b}Rdx = 2\pi R (b-a) \end{equation}

 

Quay lại với Trái đất, Diện tích hình đớt cầu giới hạn bởi hai đường vĩ tuyến $\varphi_1$ và $\varphi_2, (\varphi_1 < \varphi_2)$. Ta lấy $a=R\sin \varphi_1, b = R\sin \varphi_2$. Ta được

$$S_{(R,\sin \varphi_1,\sin \varphi_2)}=2\pi R^2 (\sin \varphi_2- \sin \varphi_1)$$

 

Gọi $S_{(\varphi_1; \varphi_2; \lambda_1; \lambda_2)}$ là diện tích cần tìm. Dễ thấy đó là diện tích phần phần đớt cầu giới hạn bởi hai kinh tuyến $\lambda_1$ và $\lambda_2$. Ta có:

\begin{equation} \label{eq:3} \boxed{ S_{(\varphi_1; \varphi_2; \lambda_1; \lambda_2)}=\frac{|\lambda_2-\lambda_1|}{360} \times 2\pi R^2 (\sin \varphi_2- \sin \varphi_1) } \end{equation}

 

Lấy $R=6370 km, \varphi_1 = 11^o, \varphi_2=49^o, \lambda_1 = 2^o30', \lambda_2 = 106^o30'$, ta có $S\approx 41 \ 532 \ 886,63 km^2$

[chanhquocnghiem]

Sao nhỏ thế.Thử nhìn lên bản đồ xem, miền cần tính diện tích gấp mấy lần nước Trung quốc ấy chứ ?

Trong khi đó $6520$ ki-lô-mét vuông thì chỉ bằng 1 tỉnh nhỏ của Việt Nam (!).Chắc chắn là có nhầm lẫn.

[E. Galois]

Sao nhỏ thế.Thử nhìn lên bản đồ xem, miền cần tính diện tích gấp mấy lần nước Trung quốc ấy chứ ?

Trong khi đó $6520$ ki-lô-mét vuông thì chỉ bằng 1 tỉnh nhỏ của Việt Nam (!).Chắc chắn là có nhầm lẫn.

Xin lỗi bác, em quên mất $R^2$. Đã sửa ở trên

[chanhquocnghiem]

 

 

 

Diện tích phần cần tìm là phần đớt cầu giới hạn bởi hai kinh tuyến $2^o30'$ và $106^o30'$. Ta có:

$$ S=\frac{106,5-2,5}{360} \times 2\pi R^2 (\sin 49^o- \sin 11^o) = \frac{26}{45}\pi R^2 (\sin 49^o- \sin 11^o)$$

 

Lấy $R=6370 km$ ta có $S\approx 41 \ 532 \ 886,63 km^2$

 

Lại đúng nữa ... Cảm ơn thầy Thế đã nhiệt tình tham gia 

Nhưng những bài trên chỉ là "khai vị".Dưới đây mới là "món" chính :

 

Thành phố $A$ có tọa độ $\varphi _A=11^o$ ; $\lambda _A=2^o30'$ ($11^o$ vĩ Bắc, $2^o30'$ kinh Đông)

Thành phố $B$ có tọa độ $\varphi _B=49^o$ ; $\lambda _B=106^o30'$ ($49^o$ vĩ Bắc, $106^o30'$ kinh Đông)

Giả sử trên bề mặt Trái Đất, người ta nối 2 thành phố $A$ và $B$ bằng 1 đường ngắn nhất (gọi là đường $(L)$)

Tính diện tích bề mặt Trái Đất giới hạn bởi đường $(L)$, các đường kinh tuyến đi qua $A$ và $B$ và đường xích đạo ?

[E. Galois]

1) Diện tích cần tìm là

$$S_{ABCD}=S_{CPD} - S_{PAB}$$

Trong đó $P$ là điểm cực Bắc. $C,D$ lần lượt là giao điểm của kinh tuyến $\lambda_B, \lambda_A$ với đường xích đạo.

 

2) Để tính $S_{PAB}$. Ta cần đi tìm công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu.

Định nghĩa:

Tam giác cầu $ABC$ là Tam giác nằm trên trên mặt cầu, các đường cong đi qua AB, BC, CA là các đường tròn lớn của mặt cầu.

 

Kí hiệu $A$ là góc giữa hai mặt phẳng $(AOB)$ và $(AOC)$.

$A$ đo bằng radian.

 

Khi đó gọi $S_A$ là diện tích phần mặt cầu giới hạn bởi hai mặt phẳng $(OAB)$ và  $(OAC)$ (phần tô vàng)

Gọi $S$ là diện tích mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$,

$S=4\pi R^2$.

Ta có:

$$S_A = 2 \times \frac{S}{2 \pi}\times A = 4A\times R^2$$

 

3) Ta chứng minh định lý Girard:

Nếu $ABC$ là một tam giác cầu thì Diện tích tam giác $ABC$ được tính bằng công thức:

\begin{equation} \label{eq:4} \boxed{S_{ABC} = R^2(A+B+C-\pi)} \end{equation}

 

Thật vậy, Tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ (là hai tam giác bằng nhau) giúp ta chia mặt cầu thành các phần dưới đây:

Gọi $S_{2}, S_3, S_4$ lần lượt là diện tích các phần $(2), (3), (4)$.

Dễ thấy: các phần $(2), (3), (4)$ phủ kín mặt cầu và tam giác $ABC$ được đếm lặp $6$ lần. Tức là thừa $4$ lần. Do đó:

$$\begin{align*} & S = S_2+S_3+S_4-4S_{ABC} \\ \iff & 4\pi R^2 = 4A.R^2+4B.R^2+4C.R^2 – 4S_{ABC} \\ \iff & S_{ABC} = (A+B+C-\pi)R^2 \quad \text{(đpcm)}\end{align*}$$

 

4) Bây giờ cần tìm các góc $A, B, P$ của tam giác $PAB$.

 

Dễ thấy $P = |\lambda_A - \lambda_B| = 104^o = \frac{26\pi}{45}$

 

5) Để tính được các góc $A,B$, ta cần đi chứng minh Định lý cosin thứ nhất.

Định lý cosin thứ nhất.

Cho tam giác cầu $ABC$ nằm trên mặt cầu đơn vị (bán kính bằng 1). Đặt $a=\widehat{BOC}, b= \widehat{AOC}, c= \widehat{AOB}$. Khi đó:

\begin{equation} \label{eq:5} \boxed{\cos A = \dfrac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}} \end{equation}

 

Chứng minh:

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $A \in Oz, B \in (xOz)$.

Khi đó:

$$A(0;0;1),  \quad B(\sin c; 0; \cos c), \quad C(\sin b \cos A; \sin b \sin A; \cos b)$$

Khi đó

$$\cos a = \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = \sin c \sin b \cos A + \cos c \cos b$$

Do đó ta có đpcm.

 

6) Đối với tam giác $PAB$, ta có $b =90^o - \varphi_A =79^o, a= 90^o-\varphi_B = 41^o$.

Áp dụng công thức $\eqref{eq:1}$, ta thu được

$$p = \widehat{AOB} \approx 90^o40’32’’$$

 

Áp dụng định lý cosin thứ nhất cho tam giác $PAB$ ta có:

$$\cos A = \dfrac{\cos a - \cos b \cos p}{\sin b \sin p} \approx 0,771180674$$

Suy ra $A \approx 0,690 102 644 3 \quad (rad)$

$$\cos B = \dfrac{\cos b - \cos a \cos p}{\sin a \sin p} \approx 0,3044256591$$

Suy ra $B \approx 1,261 460 915 \quad (rad)$

 

Áp dụng định lý định lý Girard ta có:
$$S_{PAB} = (P+A+B- \pi)R^2$$

 

Do đó

$$S_{ABCD}=S_{CPD} - S_{PAB} = P.R^2 - (P+A+B- \pi)R^2 = (\pi – A – B )R^2  \approx 48 \ 287 \ 691,56 \ km^2$$

 

(Quái lạ, sao nó có vẻ không đúng lắm so với Google Earth)

 

Lấy $R=6371$ thì sẽ được $S \approx 48 \ 302 \ 853. 72 \ km^2$

(kết quả này gần với thực tế hơn.

[chanhquocnghiem]

Gọi $I$ là 1 trong 2 giao điểm của mặt phẳng $(AOB)$ và đường xích đạo ($I$ là giao điểm gần $A$ hơn).

 

Để thuận tiện, ta chọn $I$ là gốc tính kinh độ mới, chiều dương vẫn như cũ.Kinh độ mới tính theo $I$ gọi là $\theta$.

 

Kẻ đường thẳng $DT$ _|_ $(OCD)$ ($T\in OA$) và $DE$ _|_ $OI$ ($E\in OI$).Gọi $\varphi _o=\left ( \widehat{(OAB),(OCD)} \right )$

 

Xét điểm $M$ bất kỳ thuộc $(L)$.Kinh tuyến qua $M$ cắt xích đạo tại $N$.Kẻ $NP$ \dot $(OCD)$ ($P\in OM$) và $NQ$ \dot $OI$ ($Q\in OI$)

 

Ta có:

$$\frac{NQ}{NP}=\frac{\sin \theta _M}{\tan \varphi _M}=\cot \varphi _o\Rightarrow \sin \varphi _M=\frac{\sin \theta _M}{\sqrt{\sin^2\theta _M+\cot^2\varphi _o}}$$

Qua bài toán "khai vị" ở trên ta biết rằng nếu $\varphi _1< \varphi _2$, $\theta _1< \theta _2$ thì diện tích hình giới hạn bởi các vĩ tuyến $\varphi _1,\varphi _2$ và các kinh tuyến $\theta _1,\theta _2$ (tạm gọi là "hình chữ nhật cầu") là 

$$S=R^2(\sin \varphi _2-\sin \varphi _1)(\theta _2-\theta _1)$$

(ở đây các góc tính bằng $rad$)

 

Bây giờ ta chia đoạn đường $(L)$ thành $n$ cung tùy ý bởi các điểm phân biệt $A_1,A_2,...,A_{n-1}$.Các kinh tuyến qua các điểm này cắt xích đạo tại $D_1,D_2,...,D_{n-1}$.Trên mỗi cung $A_{i-1}A_i$ ta lấy điểm $M_i$ tùy ý.

 

Khi tất cả các $\Delta \theta _i=\theta _{A_i}-\theta _{A_{i-1}}$ đều tiến đến $0$ ($n$ tiến đến vô cùng), thì diện tích mỗi "hình chữ nhật cầu" nằm giữa các vĩ tuyến $0$ và $\varphi _{M_i}$ và các kinh tuyến $\theta _{A_{i-1}},\theta _{A_i}$ sẽ tiến đến diện tích hình $A_{i-1}D_{i-1}D_iA_i$.Do đó :

$$S_{ABCD}=\lim \sum_{\Delta \theta _i\to0}R^2\sin \varphi _{M_i}\Delta \theta _i=R^2\int_{\theta _A}^{\theta _B}\frac{\sin \theta d\theta }{\sqrt{\sin^2\theta +\cot^2\varphi _o}}$$

Đặt $t=\cos \theta$, ta có :

$$\begin{align}  S_{ABCD} & =-R^2\int_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{\sqrt{1+\cot^2\varphi _o-t^2}} \\ &=R^2\int_{t_2}^{t_1}\frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2\varphi _o}-t^2}} \\ &=R^2\left [  \arcsin(t.\sin \varphi _o) \right ] _{\cos \theta _B}^{\cos \theta _A} \\ &=R^2\left [ \arcsin(\sin \varphi _o\cos \theta _A)-\arcsin(\sin \varphi _o\cos \theta _B) \right ] \label{eq:6} \end{align}$$

Ta có:

$$\frac{\sin \theta _A}{\sin\theta _B}=\frac{\sin\theta _A}{\sin(\theta _A+104^o)}=\frac{\tan11^o}{\tan49^o}\approx 0,168972224$$

Vậy $\theta _A\approx 8,951349818$ (độ) ; $\theta _B\approx 112,951349818$ (độ)

$$\sin\varphi _o=\frac{DT}{ET}=\frac{\tan\varphi _A}{\sqrt{\sin^2\theta _A+\tan^2\varphi _A}}\approx 0,780689494$$

Thay vào $\eqref{eq:6}$ và lấy $R=6371\ km$, ta được 

$$S_{ABCD}\approx 48303054\ (km^2)$$

 

(có khớp với kết quả của thầy Thế không nhỉ   )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-01-2016 - 12:22
Sửa Latex