Cho $a,b\geq 0 ,a+b=1$
Tìm Min $\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$
$\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$
Bắt đầu bởi CaoHoangAnh, 15-01-2016 - 21:12
#2
Đã gửi 15-01-2016 - 21:16
Element hero Neos
-
- Thành viên
-
- 943 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b\geq 0 ,a+b=1$
Tìm Min $\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu $Engel$ có:
$A=\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{1+(a+b)^{2}}=2$
#3
Đã gửi 15-01-2016 - 21:18
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu $Engel$ có:
$A=\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{1+(a+b)^{2}}=2$
Dấu = không xảy ra!!
- CaoHoangAnh yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#4
Đã gửi 15-01-2016 - 21:26
CaoHoangAnh
-
- Thành viên
-
- 107 Bài viết
Trung sĩ
#5
Đã gửi 15-01-2016 - 22:17
CaptainCuong
-
- Thành viên
-
- 212 Bài viết
Thượng sĩ
$=\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{\frac{256}{9}}{2ab}-\frac{\frac{247}{9}}{2ab}\geq \frac{(1+\frac{16}{3})^{2}}{1+(a+b)^{2}}-\frac{\frac{247}{9}}{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{\frac{361}{9}}{2}-\frac{\frac{247}{9}}{\frac{1}{2}}=-\frac{209}{6}$
Dấu = xảy ra khi a=b=1/2
#6
Đã gửi 15-01-2016 - 22:23
Math Master
-
- Thành viên
-
- 245 Bài viết
Blue Sky
$A = \frac{1}{1+a^2+b^2} + \frac{1}{6ab} + \frac{1}{3ab}$
$A \geq \frac{4}{(a+b)^2 + 4ab+ 1} + \frac{1}{3ab}$
$= \frac{4}{4ab+2} + \frac{1}{3ab}$
Vì $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{1}{4}$
$=> A \geq \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b = \frac{1}{2}$
- tpdtthltvp, Tuituki, Element hero Neos và 2 người khác yêu thích
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
#7
Đã gửi 15-01-2016 - 22:26
Math Master
-
- Thành viên
-
- 245 Bài viết
Blue Sky
$=\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{\frac{256}{9}}{2ab}-\frac{\frac{247}{9}}{2ab}\geq \frac{(1+\frac{16}{3})^{2}}{1+(a+b)^{2}}-\frac{\frac{247}{9}}{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{\frac{361}{9}}{2}-\frac{\frac{247}{9}}{\frac{1}{2}}=-\frac{209}{6}$
Dấu = xảy ra khi a=b=1/2
a,b > 0 nên min vẫn lớn hơn 0 ha bạn 
- tpdtthltvp, CaptainCuong, Element hero Neos và 1 người khác yêu thích
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
