Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$2ab+2bc+2ca \geq a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}. S$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 15-01-2016 - 21:54

Với $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác, $S$ là diện tích tam giác. CMR: $2ab+2bc+2ca \geq a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}. S$


  • TMW yêu thích
"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."

#2 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 15-01-2016 - 23:15

bài này mình chỉ cần đặt a=x+y b=y+z c=x+z (phép thế ravi)  dùng heron vô cái đay là lời giải của mình

sau khi thế vô thì bđt ra ri đây $\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq \sqrt{3(x+y+z)xyz$ rồi dpcm dễ quá nhỉ ;v 


  • TMW yêu thích

#3 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Thành viên
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 16-01-2016 - 00:35

Đặt $p=\frac{a+b+c}{2}$
Theo hệ thức $Heron$ ta có :
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Ta có :

$2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}=(a^{2}-(b-c)^{2})+(b^{2}-(c-a)^{2})+(c^{2}-(a-b)^{2})=\sum (a-b+c)(a-c+b)=\sum 4(p-b)(p-c)$

Sử dụng Bất đẳng thức

$xy+yz+zx \geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$ ( chứng minh bằng biến đổi tương đương )
Ta có :
$\sum 4(p-b)(p-c) \geq 4\sqrt{3(3p-a-b-c)(p-a)(p-b)(p-c)}=4\sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}=4\sqrt{3}.S$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Có hai bất đẳng thức yếu hơn : 
i) $\sum a^{2} \geq 4\sqrt{3}.S+\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}$

ii) $\sum a^{2} \geq 4\sqrt{3}.S+\frac{2}{3}\sum (a-b)^{2}$



#4 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 17-01-2016 - 13:33

Đặt $p=\frac{a+b+c}{2}$
Theo hệ thức $Heron$ ta có :
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Ta có :

$2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}=(a^{2}-(b-c)^{2})+(b^{2}-(c-a)^{2})+(c^{2}-(a-b)^{2})=\sum (a-b+c)(a-c+b)=\sum 4(p-b)(p-c)$

Sử dụng Bất đẳng thức

$xy+yz+zx \geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$ ( chứng minh bằng biến đổi tương đương )
Ta có :
$\sum 4(p-b)(p-c) \geq 4\sqrt{3(3p-a-b-c)(p-a)(p-b)(p-c)}=4\sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}=4\sqrt{3}.S$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Có hai bất đẳng thức yếu hơn : 
i) $\sum a^{2} \geq 4\sqrt{3}.S+\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}$

ii) $\sum a^{2} \geq 4\sqrt{3}.S+\frac{2}{3}\sum (a-b)^{2}$

fan OP đây rồi @@@ vào vấn đề 2 bài đó cũng chỉ cần thế a=x+y b=y+z c=z+x và dùng heron dạng này toàn dùng thế xong S.O.S đủ kiểu vì đã có 1 bđt đẹp mà @@ :v






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh