Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh: $1\leq x,y,z\leq 2$ thì:$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)\leq 10$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 16-01-2016 - 15:47

Chứng minh: $1\leq x,y,z\leq 2$ thì:

  $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)\leq 10$



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 16-01-2016 - 16:25

Giả sử $2 \ge z \ge y \ge x$ suy ra $\frac{x}{y} \ge \frac{1}{2}$  
Xét $(1-\frac{x}{y})(0,5-\frac{x}{y}) \le 0$  
$\Rightarrow 1+\frac{x^2}{y^2} \le \frac{x}{y}.2,5 \leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \le 2,5$  
Xét $(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})+(1-\frac{y}{x})(1-\frac{z}{y}) \ge 0$ 
Suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \le 2+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \le 2+2,5=4,5$ 
$VT=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+\frac{x}{z}+\frac{z}{x} \le 3+4,5+2,5=10$ (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,2)$ và các hoán vị 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 16-01-2016 - 16:25


#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 16-01-2016 - 16:28

Cách khác : Biến đổi tuơng đương  
Giả sử $1 \le x \le y \le z \le 2$ nên $2 \le 2x \le 2y \le 2z$ do đó $x \le z \le 2 \le 2x \le 2z$
Xét $(x+y+z)(xy+yz+xz)-10xyz=(x+z)(y-x)(y-z)+y(2x-z)(x-2z) \le 0$ 
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,2)$ và các hoán vị 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh