Chủ đề này có 4 trả lời

[misakichan]

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn:

$x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 16-01-2016 - 18:04

[I Love MC]

TH $x=y$ thì ko thỏa 
Xét $y>x$ vậy thì $y \ge x+1$ 
Ta có $x^3=y^3+2(x^2+y^2)+3xy+17 \ge (x+1)^3+2((x+1)^2+x^2)+3(x+1)x+17$ 
Suy ra $-x^2-x-2 \ge 0$ (ko tồn tại) 
Xét $x^3-y^3-2(x^2+y^2)-3xy=(x-y-2)(x^2+y^2)+(x-y)(xy-3)=17$ 
Ta xét các TH : $x=y+2,x=y+1$ nếu $x=y+k$ với $k \ge 3$ thì ta xét 
$(x-y-2)(x^2+y^2)+(x-y)(xy-3)=17=1+16=.....$ 
Dở  

[misakichan]

TH $x=y$ thì ko thỏa 
Xét $y>x$ vậy thì $y \ge x+1$ 
Ta có $x^3=y^3+2(x^2+y^2)+3xy+17 \ge (x+1)^3+2((x+1)^2+x^2)+3(x+1)x+17$ 
Suy ra $-x^2-x-2 \ge 0$ (ko tồn tại) 
Xét $x^3-y^3-2(x^2+y^2)-3xy=(x-y-2)(x^2+y^2)+(x-y)(xy-3)=17$ 
Ta xét các TH : $x=y+2,x=y+1$ nếu $x=y+k$ với $k \ge 3$ thì ta xét 
$(x-y-2)(x^2+y^2)+(x-y)(xy-3)=17=1+16=.....$ 
Dở

mình ko hiểu cho lắm đoạn cuối

[I Love MC]

mình ko hiểu cho lắm đoạn cuối

Bạn có thể xét từ $y=x+3$ đến $y=x+6$  

[PlanBbyFESN]

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn:

$x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17$

 

Từ giả thiết ta có:                    $(x;y\in N)$        

 

$x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17> y^{3}+4y^{2}+3y^{2}+17> (y+1)^{3}\Rightarrow x> y+1\Rightarrow x\geq y+2$    ( chú ý hiển nhiên có $x>y$ )

 

Đến đây biến đổi :

 

$PT\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-2(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17\Leftrightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17$

 

Ta có đánh giá : $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{3}\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

 

$\Rightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17\leq \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{3}+17\Rightarrow (x-y-\frac{7}{3})(x^{2}+y^{2}+xy)\leq 17\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)<17\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)\leq 16$       (1)

 

Đến đây thì đơn giản rồi:

 

Do đã có  $x\geq y+2$ nên bạn chỉ cần xét $\begin{bmatrix} x=y+2 & \\ x=y+3 & \end{bmatrix}$

 

Còn $x\geq y+4\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)> x^{2}+y^{2}+xy\geq (y+4)^{2}+y^{2}+y(y+4)\geq 16$      (2)

 

Từ (1) và (2) $\Rightarrow y=0$

 

Tổng kết lại ta có 3 trường hợp:

 

$\begin{bmatrix} x=y+2 & & \\ x=y+3 & & \\ y=0 & & \end{bmatrix}$

 

Thay vào... Việc tính toán nhường cho bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 05-02-2016 - 18:06