Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tiếp sức bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 223 trả lời

#1 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 16-01-2016 - 20:27

Chào các bạn,hôm nay là một ngày rất đặc biệt với diễn đàn chúng ta,ngày 16-1 chính là ngày sinh nhật của VMF.Cũng như bao bạn trẻ mong muốn vào ngày sinh nhật,đương nhiên vào một ngày ý nghĩa như thế này không thể không thiếu một thứ quan trọng đó là ''quà'' =)) Đương nhiên món quà này các mem VMF đều có thể tặng được đó là những bài viết =)) Chính vì vậy mình lập TOPIC này để nhằm mục đích giao lưu học hỏi với các bạn trên diễn đàn (vui là chính hì  :D )Chủ đề của tối nay là bất đẳng thức (vì mình thấy các bạn có vẻ rất ưa chuộng mảng này  ^_^ )Mỗi khi bạn giải 1 bài toán mình đề nghị các bạn đề xuất thêm 1 bài toán khác (giống trò chơi tiếp sức ấy =)) ).Mình xin bắt đầu với 2 bài toán đầu tiên:

Bài 1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq y\geq z$.Chứng minh rằng $xy^{4}+yz^{4}+zx^{4}\geq yx^{4}+zy^{4}+xz^{4}$

Bài 2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $(a,b,c)\epsilon [1;2]$.Tìm Min,Max của $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}$

P/s:Các bạn tham gia nhiệt tình nhé :))

Mình cũng đổi lại tên BOX để TOPIC có thể kéo dài được lâu hơn :)

Cũng nói thêm bài nào giải rồi mình sẽ tô đỏ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:40
Bài toán đã được giải quyết


#2 huykietbs

huykietbs

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 335 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Hà - Thái Bình
  • Sở thích:Thích Toán, Hóa, Sinh.

Đã gửi 16-01-2016 - 20:47

 

Bài 1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\leq y\leq z$.Chứng minh rằng $xy^{4}+yz^{4}+zx^{4}\leq yx^{4}+zy^{4}+xz^{4}$

 

chị xem lại hộ em có phải bài này bị sai đề bài không ạ?



#3 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 16-01-2016 - 20:53

Bài 1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\leq y\leq z$.Chứng minh rằng $xy^{4}+yz^{4}+zx^{4}\leq yx^{4}+zy^{4}+xz^{4}$

 

$x\geq y\geq z$: bạn ấy viết nhầm


:huh:


#4 quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 16-01-2016 - 21:20

Bài 1:Biến đổi tương đương ta có $\frac{1}{2}(x-y)(x-z)(y-z)[(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}]\geq 0$(luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$

Xin đề xuất bài toán tiếp theo:

Bài 3:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq a+b+c$

Nhân tiện cho chúc mừng sinh nhật VMF ké nhé  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:40


#5 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 16-01-2016 - 21:37

Bài 3:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq a+b+c$

Nhân tiện cho chúc mừng sinh nhật VMF ké nhé  :D

Vận dụng kết quả quen thuộc:

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x+y)\geq 0$ luôn đúng .

Thay vào ta có: $\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}$

Tương tự các vế còn lại ta có đpcm

Bài 4: Cho $x\geq 2;x+y\geq 3.$ Tìm min: 

 $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:41

:huh:


#6 huykietbs

huykietbs

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 335 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Hà - Thái Bình
  • Sở thích:Thích Toán, Hóa, Sinh.

Đã gửi 16-01-2016 - 22:09

 

Bài 2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $(a,b,c)\epsilon [1;2]$.Tìm Min,Max của $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}$

P/s:Các bạn tham gia nhiệt tình nhé :))

còn bài này thì sao ạ



#7 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 16-01-2016 - 22:18

còn bài này thì sao ạ

Gợi ý:Chứng minh bất đẳng thức sau $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}\geq \frac{3}{3+abc}$



#8 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 16-01-2016 - 22:22

Bài 4: Cho $x\geq 2;x+y\geq 3.$ Tìm min: 

 $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$

AM-GM:

$x^{2}+4\geq 4x$

$y^{2}+1\geq 2y$

$\Rightarrow S\geq 4x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}-5$

Cô si tách:

$2(x+y)+\frac{18}{x+y}-\frac{17}{x+y}\geq 2\sqrt{36}-\frac{17}{3}=\frac{19}{3}$           ($x+y\geq 3$)

$2x+\frac{8}{x}-\frac{7}{x}\geq 2\sqrt{16}-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}$                              ($x\geq 2$)

$\Rightarrow P\geq \frac{19}{3}+\frac{9}{2}-5=\frac{35}{6}$

Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow$ x=2 và y=1

Vậy Smin=$\frac{35}{6}$

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ 

CMR: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

Bài 6: $x,y,z>0; \sum x^{2}=3$

CMR:  $\sum \frac{xy}{3+z^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Bài 7:  Cho $x,y>0$;x2+y2=1

Tìm max: $P=xy^{2}$

P/s: Dễ nhai thì cố cắn nha các bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:41
Bài toán đã được giải quyết

:huh:


#9 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 17-01-2016 - 20:43

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ 

CMR: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

Bài 6: $x,y,z>0; \sum x^{2}=3$

CMR:  $\sum \frac{xy}{3+z^{2}}\geq \frac{3}{4}$

 

6.$\sum \frac{xy}{3+z^{2}}=\sum \frac{xy}{6-(x^2+y^2)}\geq \sum \frac{xy}{6-2xy}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{xy}{3-xy}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{3}{xy}-1}\geq \frac{9}{3(\sum \frac{1}{xy})-3}=\frac{3}{\sum \frac{1}{xy}-1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 3\geq \sum \frac{1}{xy}\Leftrightarrow x^{2}+y^2+z^2\geq \frac{x+y+z}{xyz}$

Thật vậy ta có $x^{2}+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}\geq \frac{x+y+z}{xyz}\Leftrightarrow xyz(x+y+z)\geq 3$

Mà $\frac{(x^2+y^2+z^2)^{2}}{3}-xyz(x+y+z)\geq 0\Leftrightarrow 3-3\geq 0$ (đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

Xin đề xuất thêm 2 bài toán sau

Bài 8:Cho $x,y,z$ là các số thực tm:$xy+yz+zx=1$.Tìm Min của $P=13x^2+12y^2+22z^2$

Bài 9:Cho $x,y,z$ là các số thực tm: $x^2+y^2+z^2=1-\frac{9}{16}xy$.Tìm Max:$P=xy+yz+xz$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 17:25


#10 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 17-01-2016 - 20:58

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ 

CMR: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

Bài 6: $x,y,z>0; \sum x^{2}=3$

CMR:  $\sum \frac{xy}{3+z^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Bài 7:  Cho $x,y>0$;x2+y2=1

Tìm max: $P=xy^{2}$

P/s: Dễ nhai thì cố cắn nha các bạn

Bạn chữa bài 7 mình xem với

Bài 5:Áp dụng BĐT AM-GM: 

$(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)\geq (x+y+z)^{3}$

$\Rightarrow BĐT\Leftrightarrow t^{3}\geq (2t+9)^{2}$$\Leftrightarrow t(\sqrt{t}-2)\geq 9$    ($t=a+b+c$)

$\Leftrightarrow t\geq 9$   

Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ $\Rightarrow xyz\geq 27\Rightarrow x+y+z\geq 9 (đpcm)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$

 


#11 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 17-01-2016 - 21:13

Bài 7:  Cho $x,y>0$;x2+y2=1

Tìm max: $P=xy^{2}$

P/s: Dễ nhai thì cố cắn nha các bạn

 

Bạn chữa bài 7 mình xem với

Ta có: 

$P=x(1-x^{2})\Rightarrow P^{2}=x^{2}(1-x^{2})^{2}$

$P^{2}=\frac{1}{2}2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq \frac{1}{2}\frac{(2)^{3}}{27}=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow P\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}; y=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Vậy Pmax=$\frac{2}{3\sqrt{3}}$


:huh:


#12 quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 17-01-2016 - 21:41

Ta có: 

$P=x(1-x^{2})\Rightarrow P^{2}=x^{2}(1-x^{2})^{2}$

$P^{2}=\frac{1}{2}2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq \frac{1}{2}\frac{(2)^{3}}{27}=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow P\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}; y=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Vậy Pmax=$\frac{2}{3\sqrt{3}}$

Mình bổ sung thêm bài toán mới

Bài 10:Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\geq \frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:42


#13 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 17-01-2016 - 22:50

Mình bổ sung thêm bài toán mới

Bài 10:Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{1}{3}$

 

$\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)} \leq \sum \frac{a^3}{(ac+a^2+ab)^2} = \sum \frac{a}{(a+b+c)^2} = \frac{1}{3}$

 

Bài 11: Cho $x,y,z >0 $ và  $\sum x=\sum \frac{1}{x}$. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(xy+yz+xz)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 11-02-2016 - 21:56

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#14 huya1k43pbc

huya1k43pbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ngạo nghễ cười trên cả những niềm đau
  • Sở thích:Hạt cát vô danh.

Đã gửi 18-01-2016 - 00:05

$\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)} \geq \sum \frac{a^3}{(ac+a^2+ab)^2} = \sum \frac{a}{(a+b+c)^2} = \frac{1}{3}$

 

 

Đề sai rồi mà sao Nam vẫn CM đượcvậy :D



#15 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 18-01-2016 - 18:49

Đề sai rồi mà sao Nam vẫn CM đượcvậy :D

Đề đúng là như thế nào vậy bạn :)



#16 huya1k43pbc

huya1k43pbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ngạo nghễ cười trên cả những niềm đau
  • Sở thích:Hạt cát vô danh.

Đã gửi 18-01-2016 - 20:08

Đề đúng là như thế nào vậy bạn :)

Bạn thay a=0.5 b=1 c=1.5 vô đi bạn  Bạn hỏiThông minh vãi :like



#17 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 18-01-2016 - 20:13

Đề sai rồi mà sao Nam vẫn CM đượcvậy :D

Đề thay dấu $\geq$ thành $\leq$ là ok rồi anh :icon6: . Do vội quá..hic

 

 

$\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)} \leq \sum \frac{a^3}{(ac+a^2+ab)^2} = \sum \frac{a}{(a+b+c)^2} = \frac{1}{3}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 18-01-2016 - 20:15

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#18 ngochapid

ngochapid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 19-01-2016 - 20:00

Topic khá là thú vị. Chúc topic ngày càng phát triển. 

 

Bài 12:Cho $x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$. CMR

$P=\frac{1}{x^3(y+1)^3}+\frac{1}{y^3(z+1)^3}+\frac{1}{z^3(x+1)^3}\geq \frac{9}{4(3+x+y+z)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 11-02-2016 - 21:57
Ghi thêm STT


#19 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 01-02-2016 - 17:29

$\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)} \leq \sum \frac{a^3}{(ac+a^2+ab)^2} = \sum \frac{a}{(a+b+c)^2} = \frac{1}{3}$

 

Bài 11: Cho $x,y,z >0 $ và  $\sum x=\sum \frac{1}{x}$. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(xy+yz+xz)$

Bài này làm mình liên tưởng đến 1 hệ quả của Schur:$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$do đó chỉ cần chứng minh $3\geq \frac{9xyz}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3xyz$,đến đoạn này mình bí =)) Nếu chứng minh được $xyz \leq 1$ thì xong rồi nhưng mà mình chưa làm ra.Nam có thể đưa ra lời giải bài này không?

Cũng đề xuất bài toán mới,rảnh rỗi ngồi chế 1 bài,dễ quá thì đừng chê cười nhé  :D

Bài 13:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh $(1+\frac{b+c}{a})(1+\frac{b+a}{c})(1+\frac{a+c}{b})\geq a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+3(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:42


#20 quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 01-02-2016 - 18:06

Gợi ý:Chứng minh bất đẳng thức sau $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}\geq \frac{3}{3+abc}$

Không cần phức tạp thế đâu bạn tôi ơi  :D

$\sum \frac{1}{4+a-ab}=\sum \frac{1}{4+a(1-b)}$

Do $(a,b,c)\epsilon [1;2]\Rightarrow \frac{3}{2}\leq \sum \frac{1}{4+a(1-b)}\leq \frac{3}{4}$

Dấu ''='' của Max xảy ra tại $a=b=c=2$

Dấu ''='' của Min là $a=b=c=1$ 

Có bài này cũng hay mà đơn giản nè:

Bài 14:Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.Chứng  minh rằng $a^3+b^3+c^3+6abc \geq 9$

P/s:Góp ý chút,bài nào giải rồi nên tô đỏ để mọi người biết là đã được giải :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-02-2016 - 16:39
Bài toán đã được giải quyết





4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh