Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tiếp sức bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 223 trả lời

#41 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 06-02-2016 - 13:16

 

 

Bài 26: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. CMR:

$xy+yz+xz\geq \frac{18xyz}{2+xyz}$

Theo bđt AM-GM:ta có  $(xy+yz+zx)(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9xyz$

$\rightarrow xy+yz+zx \geq 9xyz $

Ta cần chứng minh $9xyz \geq \frac{18xyz}{2+xyz}$

$\leftrightarrow 1 \geq \frac{2}{2+xyz}$

$\leftrightarrow 2+xyz \geq 2$ 

$\leftrightarrow xyz \geq 0$ :Đúng

Vì $x,y,z>0$ nên dấu '=' không xảy ra  :wacko: 
Bài toán tiếp theo:

Bài 28:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sqrt{4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 15:38


#42 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 06-02-2016 - 13:27

$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}=\frac{a^{2}}{a^{3}+abc}=\frac{a}{a^{2}+bc}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{2abc}=\frac{ab+bc+ca}{2}.$ . em mới tham gia forum có gì chỉ bảo thêm.. 

Cảm ơn bạn,lời giải của bạn đúng rồi,chỉ đơn giản là áp dụng bài toán cũ là xong :) Mời bạn có thể giải quyết tiếp những vấn đề còn lại tụi mình nêu ra ở trên.

Bài toán này theo mình có thể tổng quát lên như sau:

Cho $a_{1};a_{2};...;a_{n}>0;a_{1}.a_{2}...a_{n}=1$.Chứng minh:$\sum \frac{a_{1}^{2}}{a_{1}^{3}+1}\leq \frac{\sum a_{1}a_{2}}{2}$ với cm tương tự,không cần đưa ra cm đâu nhé :D

Các bạn thử suy nghĩ xem bất đẳng thức chặt hơn sau có đúng không  ~O) (nếu đúng hãy chứng minh :) )

Bài 29:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:34


#43 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 06-02-2016 - 13:39

Cảm ơn bạn,lời giải của bạn đúng rồi,chỉ đơn giản là áp dụng bài toán cũ là xong :) Mời bạn có thể giải quyết tiếp những vấn đề còn lại tụi mình nêu ra ở trên.

Bài toán này theo mình có thể tổng quát lên như sau:

Cho $a_{1};a_{2};...;a_{n}>0;a_{1}.a_{2}...a_{n}=1$.Chứng minh:$\sum \frac{a_{1}^{2}}{a_{1}^{3}+1}\leq \frac{\sum a_{1}a_{2}}{2}$ với cm tương tự,không cần đưa ra cm đâu nhé :D

Các bạn thử suy nghĩ xem bất đẳng thức chặt hơn sau có đúng không  ~O) (nếu đúng hãy chứng minh :) )

Bài 29:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{3}{2}$

Gợi ý : Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ 
Từ đó ta có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c$ 
Mạnh hơn với $n \in \mathbb{N}$ thì $\sum a^{n+1} \ge \sum a^n$



#44 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 06-02-2016 - 14:03

Gợi ý : Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ 
Từ đó ta có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c$ 
Mạnh hơn với $n \in \mathbb{N}$ thì $\sum a^{n+1} \ge \sum a^n$

Bạn full hoàn toàn hộ được không,có vẻ hơi mơ hồ  :huh:



#45 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 06-02-2016 - 15:28

Bài 28:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sqrt{4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)}$

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 22:57


#46 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 06-02-2016 - 15:38

$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}=\frac{a^{2}}{a^{3}+abc}=\frac{a}{a^{2}+bc}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{2abc}=\frac{ab+bc+ca}{2}.$ . em mới tham gia forum có gì chỉ bảo thêm..Bài 27 Cho a,b,c >0 và a+b+c =3 Chứng minh: $\frac{1}{a+3b} + \frac{1}{b+3c} + \frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{a+3} + \frac{1}{b+3} + \frac{1}{c+3}$

Bdt cần cm tương đương với $\frac{1}{a+3b} + \frac{1}{b+3c} + \frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{2b+c+a} + \frac{1}{2c+a+b}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $\frac{1}{a+3b} +\frac{1}{2c+b+a}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$

Bất đẳng thức này sẽ khó hơn khi bài cho như sau:

Bài 32:Cho   $a\geq b\geq c> 0$.  Chứng minh

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+2b}+\frac{1}{2b+2c}+\frac{1}{2c+2a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:35


#47 ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trung Tâm Giáo Dục Thường Xuyên Cầu Giấy
  • Sở thích:Sách

Đã gửi 06-02-2016 - 19:59

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

nhận thấy vế trái của bất đẳng thức này khá là dễ chứng minh:

nhân $2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

sau đó triệt tiêu đi ta được:

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+8xy \geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 20:13
Sửa lại lỗi Latex

"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#48 ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trung Tâm Giáo Dục Thường Xuyên Cầu Giấy
  • Sở thích:Sách

Đã gửi 06-02-2016 - 20:04

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

vế phải bất đẳng thức 31 cũng tương tự, nhân $2(x+y)$ vào cả hai vế và khai triển ta được :

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+(x^{2}+y^{2})+2xy \geq 0$

có lẽ đề phải là cho x,y là số thực


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 20:14

"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#49 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 06-02-2016 - 20:25

nhận thấy vế trái của bất đẳng thức này khá là dễ chứng minh:

nhân $2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

sau đó triệt tiêu đi ta được:

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+8xy \geq 0$

 

vế phải bất đẳng thức 31 cũng tương tự, nhân $2(x+y)$ vào cả hai vế và khai triển ta được :

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+(x^{2}+y^{2})+2xy \geq 0$

có lẽ đề phải là cho x,y là số thực

Bản chất của bài này là biến đổi tương đương,không biết bạn biến đổi đúng chưa nhưng hướng giải vậy là đúng rồi  :D

Bạn làm nốt bài kia đi để đăng bài mới  :D



#50 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 06-02-2016 - 20:42

Bài 33: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=a+b+c+2$.Chứng minh:$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}+\frac{1}{\sqrt[n]{c}}>2$

Bài 34: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Bài 35: Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$A=\frac{20a^2}{a-1}+\frac{12b^{2}}{b-1}+\frac{2014c^2}{c-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:34


#51 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 06-02-2016 - 21:04

Bài 35: Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$A=\frac{20a^2}{a-1}+\frac{12b^{2}}{b-1}+\frac{2014c^2}{c-1}$

$A=\frac{20(a^2-1)+20}{a-1}+\frac{12(b^2-1)+12}{b-1}+\frac{2014(c^2-1)+2014}{c-1}$

$A=20(a+1)+12(b+1)+2014(c+1)+\frac{20}{a-1}+\frac{12}{b-1}+\frac{2014}{c-1}$

$A=[20(a-1)+\frac{20}{a-1}]+[12(b-1)+\frac{12}{b-1}]+[2014(c-1)+\frac{2014}{c-1}]+4092$

$A\geq 40+24+4028+4092=8184$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 06-02-2016 - 21:36

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#52 mam1101

mam1101

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Anh Sơn 1
  • Sở thích:VMF

Đã gửi 06-02-2016 - 21:05

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 10:11

Tội gì không like cho mọi người cái nhỉ  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#53 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 06-02-2016 - 21:49

$A=\frac{20(a^2-1)+20}{a-1}+\frac{12(b^2-1)+12}{b-1}+\frac{2014(c^2-1)+2014}{c-1}$

$A=20(a+1)+12(b+1)+2014(c+1)+\frac{20}{a-1}+\frac{12}{b-1}+\frac{2014}{c-1}$

$A=[20(a-1)+\frac{20}{a-1}]+[12(b-1)+\frac{12}{b-1}]+[2014(c-1)+\frac{2014}{c-1}]+4092$

$A\geq 40+24+4028+4092=8184$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$.

Em quên chưa đăng bài! Híc... Giờ đăng bù! :)

Bài 37: Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$. CMR:

$$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$$


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#54 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 06-02-2016 - 22:00

Em quên chưa đăng bài! Híc... Giờ đăng bù! :)

Bài 37: Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$. CMR:

$$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$$

Áp dụng AM-GM

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})=3-\sum \frac{2ab^2}{a+2b^2}\geq 3-\sum \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=3-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{a^2b^2}$

Lại có $3\sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq \sum (ab+ab+1)=2(ab+bc+ac)+3\leq 9$ ( do $ab+bc+ac\leq 3$ cm bằng Bunhia)

Suy ra đpcm

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài 38: Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:

                        $1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:34


#55 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 06-02-2016 - 22:06

 

Bài 33: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=a+b+c+2$.Chứng minh:$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}+\frac{1}{\sqrt[n]{c}}>2$

Bài 34: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Bài 35: Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$A=\frac{20a^2}{a-1}+\frac{12b^{2}}{b-1}+\frac{2014c^2}{c-1}$

Tổng quát bài 35:Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$B=\frac{ma^2}{a-1}+\frac{nb^{2}}{b-1}+\frac{pc^2}{c-1}$ ($m,n,p$ là các số cho trước)



#56 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 06-02-2016 - 22:13

Bài 38: Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:

                        $1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$

 

Bài 38:

 

$1+\frac{3}{a+b+c}\geq 2\sqrt{\frac{3}{a+b+c}}=2\sqrt{\frac{9}{3abc(a+b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{9}{(ab+bc+ca)^{2}}}=\frac{6}{ab+bc+ca}$


:huh:


#57 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 06-02-2016 - 22:22

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

Bài 30 chỉ đơn giản là biến đổi tương đương,mọi người khỏi làm bài này cũng được hơi ''tay chân'' 1 tí

Làm bài này đi

Bài 39:Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = xyz$. Chứng minh rằng:  

                        $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 17:54


#58 ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trung Tâm Giáo Dục Thường Xuyên Cầu Giấy
  • Sở thích:Sách

Đã gửi 06-02-2016 - 22:46

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

 

 

Bài 39:Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = xyz$. Chứng minh rằng:  

                        $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$

 

Bài 33: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=a+b+c+2$.Chứng minh:$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}+\frac{1}{\sqrt[n]{c}}>2$

Bài 34: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}

 

 

 

Nốt nào các bạn


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#59 12345678987654321123456789

12345678987654321123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Piano

Đã gửi 06-02-2016 - 22:55

 

 

Tổng quát bài 35:Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$B=\frac{ma^2}{a-1}+\frac{nb^{2}}{b-1}+\frac{pc^2}{c-1}$ ($m,n,p$ là các số cho trước)

 

$a-1\leq \frac{a^2}{4}$

$\frac{m^2a^2}{a-1}\geq \frac{ma^2}{\frac{a^2}{4}}=4m$

$B\geq 4(m+n+p)$

Dấu  "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2$


Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.


#60 quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 07-02-2016 - 10:07

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

$\sum \frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} =\sum \frac{a^3}{b^{6} + c^{6} + a^3} \leq \sum \frac{a^{3}}{bc(b^4+c^4)+a^4bc}=\sum \frac{a^{3}}{\frac{b^4+c^4}{a}+a^3}=\sum \frac{a^{4}}{a^4+b^4+c^4}=1$

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài 40: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\sqrt{\frac{2x}{y}}(2xy-1)=2xy+1$.Tìm Min:$2x+\frac{1}{y}$

Bài 41: Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $(a+b)(c+d)\geq 4abcd$.Chứng minh $\frac{1}{ab(c+1)}+\frac{1}{bc(d+1)}+\frac{1}{cd(a+1)}+\frac{1}{ad(b+1)}\geq \frac{32}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh