Chủ đề này có 223 trả lời

[Chris yang]

 

 

 

 

Bài 18: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Tìm Min của $P=ab^2c^3$

 

 

Bài 18.

Ta có $abc(a+b+c)=ab+bc+ac\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}\Rightarrow abc(a+b+c)\geq 3$

Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra $ab+bc+ac\geq 3$. Do $a\leq b\leq c$ nên $bc\geq 1$

Khi đó $3bc^2\geq 3c\geq a+b+c$ $\Rightarrow P=ab^2c^3\geq \frac{abc(a+b+c)}{3}\geq 1$

Dấu $=$ xảy ra khi ba biến bằng nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 15-02-2016 - 20:05

[ineX]

Góp một bài dễ

Bài 78:

Với a,b,c là các số thực dương

thỏa ab+bc+ca=1

Chứng Minh Rằng:

$P= \frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

 

P/s: có ai rảnh latex các bìa giải của topic mình vào một file được không ạ 

Có ai có tài liệu hay về S.O.S không cho mình xin với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ineX: 15-02-2016 - 22:27

[ineX]

một bài nữa:

Bài 79:

Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}= 3$

Chứng minh rằng:

$P= \frac{x}{\sqrt{x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{z+2x}}\geq \sqrt{xyz+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ineX: 15-02-2016 - 22:27

[anhquannbk]

Bài 80:

Cho $ x, y, z $ là các số thực dương thỏa mãn $ x+y+z=3 $

Chứng minh rằng: $ x^{4}y^{4}z^{4}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \le 3 $

[Chris yang]

một bài nữa:

Bài 79:

Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}= 3$

Chứng minh rằng:

$P= \frac{x}{\sqrt{x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{z+2x}}\geq \sqrt{xyz+2}$

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

 

$P=\sum \frac{x^2}{x\sqrt{x+2y}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x\sqrt{x+2y}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)}}=\sqrt{x+y+z}$

 

Ta sẽ chứng minh rằng $x+y+z\geq xyz+2$ $(\star)$

 

Thật vậy: Sử dụng AM-GM $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=\sum (x\sqrt{x}+y\sqrt{x})+\sum x\sqrt{y}\geq 3\sum x\sqrt{y}=9$

 

Mà $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq (x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}$ (AM-GM) nên $\Rightarrow x+y+z\geq 3$. Cũng dễ CMR $xyz\leq 1\rightarrow xyz+1\leq 3$

 

Do đó $(\star)$ đúng, ta có đpcm

 

Bài 80:

Cho $ x, y, z $ là các số thực dương thỏa mãn $ x+y+z=3 $

Chứng minh rằng: $ x^{4}y^{4}z^{4}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \le 3 $

 

Viết lại $A=x^4y^4z^4(x^3+y^3+z^3)= x^4y^4z^4[(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+3xyz]$

 

$A=x^4y^4z^4[27-9(xy+yz+xz)+3xyz]$

 

Ta có BĐT phụ quen thuộc sau $(x+y+z)^5\geq 81xyz(x^2+y^2+z^2)\Leftrightarrow xyz[9-2(xy+yz+xz)]\leq 3$

 

$\Rightarrow 2A= x^3y^3z^3[54xyz-18xyz(xy+yz+xz)+6x^2y^2z^2]\leq x^3y^3z^3(27-27xyz+6x^2y^2z^2)=t^3(27-27t+6t^2)$

 

Ta cần chứng minh $t^3(27-27t+6t^2)\leq 6\Leftrightarrow 6(t^4+t^3+t^2+t+1)\geq 27t^3$. Điều này luôn đúng vì $t\leq 1$ theo AM-GM:

 

$6(t^4+t^2)+6t^3+6(t+1)\geq 12t^3+6t^3+12t^3>27t^3$

 

Do đó $2A\leq 6\rightarrow A\leq 3$ ( đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 16-02-2016 - 03:36

[cyndaquil]

Bài 81

Cho $a,b,c,d \ge 0 ; a+b+c+d=2$. C/m :

$\sum \frac 1{1+3a^2} \ge \frac{16}7$

[CandyPanda]

 

Đây là những bài chưa có lời giải trong topic:

 

Bài 40: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\sqrt{\frac{2x}{y}}(2xy-1)=2xy+1$.Tìm Min:$2x+\frac{1}{y}$

Bài 40: Đổi biến: $(2x,\frac{1}{y})=(a,b)$

Bài toán trở thành: Cho $a,b>0$ thỏa mãn $\sqrt{ab}(\frac{a}{b}-1)=\frac{a}{b}+1$.Tìm Min:$a+b$

Ta có: $ab(a-b)^{2}=(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$

Suy ra: $(a-b)^{2}=\frac{4ab}{ab-1}$

Suy ra: $(a+b)^{2}=ab(a-b)^{2}=ab \frac{4ab}{a-1}=4\frac{(ab)^{2}}{ab-1}\geq 16$

Tức là: $a+b\geq 4$

Dấu bằng đạt được khi $ab=2$, tức là $a=2+\sqrt{2}$, $b=2-\sqrt{2}$, hay $x=y=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$

[CandyPanda]

 

Đây là những bài chưa có lời giải trong topic: 

 

Bài 59: Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}3a+b\leq 33 & \\ a+b+2c\leq 25 & \end{matrix}\right.$.Tìm Max của  $2(6\sqrt[3]{a}+\sqrt{b})+3\sqrt{c}+2016$      (Bài đặc biệt)

 

Bài 44:cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

Bài 44 kiểm tra lại đề nhé, nếu a,b,c dương thì không có min thì phải

Bài 59 thì là cân bằng hệ số nhưng mà hệ số lầy lội quá không đẹp

[Gachdptrai12]

Bài 82: Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh
$(a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-02-2016 - 12:25

[Nguyenhuyen_AG]

82) cho a,b,c >=0 thỏa a+b+c=3 chứng minh
(a-b)(b-c)(c-a)<=3căn3/2
(ko viết latex đc hồi lên máy tính viết lại sẻy nhé)

Ta chỉ cần chứng minh

\[(a+b+c)^3 \geqslant 6\sqrt{3}|(a-b)(b-c)(c-a)|.\]

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\begin{aligned} \left |(a-b)(b-c)(c-a)\right| &=(a-c)(b-c)(a-b)\\&\le (a+c)\cdot b \cdot (a+c-b)\\&=\frac{1}{2} \cdot \left (1+\sqrt{3} \right )(a+c)\cdot b \left ( -1+\sqrt{3} \right ) \cdot (a+c-b)\\& \le \frac{1}{2}\left [ \frac{\left (1+\sqrt{3} \right )(a+c)+ b \left ( -1+\sqrt{3} \right ) + (a+c-b)}{3} \right ]^3\\& =\frac{1}{6\sqrt{3}}(a+b+c)^3.\end{aligned}\]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

[ineX]

Lâu lâu mới lên được

một bài nữa nhé

Bài 83:

Với a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1

Chứng minh rằng:

$23+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4(1+a)(1+b)(a+c)$

[ngtrungkien019a]

Bài 84:
Cho x,y>0 thỏa mãn x,$x^{2}+y^{2}=1$.Tìm min và max của:

$P=x^{3}+y^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngtrungkien019a: 19-02-2016 - 19:34

[ineX]

theo bđt AM-Gm ta có

$x^3+x^3+1 \geq 3x^2$

tương tự với ẩn y ta được $P \geq \frac{1}{2}$

(xin lỗi mình ko latex được)

 

Bài 84:
Cho x,y>0 thỏa mãn x,$x^{2}+y^{2}=1$.Tìm min và max của:

$P=x^{3}+y^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-02-2016 - 12:26
Fix Latex

[tpdtthltvp]

theo bđt AM-Gm ta có

x^3+x^3+1 >= 3x^2

tương tự với ẩn y ta được P >= 1/2

(xin lỗi mình ko latex được)

Cần sửa "tí" vì dấu $"="$ không xảy ra!   

[I Love MC]

Bài 84:
Cho x,y>0 thỏa mãn x,$x^{2}+y^{2}=1$.Tìm min và max của:

$P=x^{3}+y^{3}$

$x^2+y^2=1 \ge \frac{(x+y)^2}{2}$ 
Suy ra $\sqrt{2} \ge x+y$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz : 
$P=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y} \ge \frac{(x^2+y^2)^2}{x+y} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-02-2016 - 12:28

[Gachdptrai12]

Ta chỉ cần chứng minh
\[(a+b+c)^3 \geqslant 6\sqrt{3}|(a-b)(b-c)(c-a)|.\]
Giả sử $a \geqslant b \geqslant c.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\begin{aligned} \left |(a-b)(b-c)(c-a)\right| &=(a-c)(b-c)(a-b)\\&\le (a+c)\cdot b \cdot (a+c-b)\\&=\frac{1}{2} \cdot \left (1+\sqrt{3} \right )(a+c)\cdot b \left ( -1+\sqrt{3} \right ) \cdot (a+c-b)\\& \le \frac{1}{2}\left [ \frac{\left (1+\sqrt{3} \right )(a+c)+ b \left ( -1+\sqrt{3} \right ) + (a+c-b)}{3} \right ]^3\\& =\frac{1}{6\sqrt{3}}(a+b+c)^3.\end{aligned}\]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

bài này anh huyện làm thế nào ấy thấy lẫn cái căn zô khó khó nghĩ tới sao ấy tối em đăng lời giải của em mong anh cho nhận xét(srry tối ni tự nhiên chị không đem máy tính zề đói meo rồi hồi sửa mệt bà chị)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-02-2016 - 22:00

[manh122]

Em có bài lý liên quan đến bất đẳng thức. Khó quá =(((((((((( Mọi người giúp với!!!
 
BÀI 85: Mọt người đi trên quãng đường S chia thành n chặng không đều nhau, chiều dài cách chặng đó lần lượt là $s_{1}, s_{2}, s_{3},..., s_{n}$. Thời gian người đó đi trên các chặng đường tương ứng là $t_{1}, t_{2}, t_{3},..., t_{n}$. Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường S. CMR: Vận tốc trung bình đó lớn hơn vận tốc bé nhất và nhỏ hơn vận tốc lớn nhất.

(Tập trung ý 2 nha mọi ngừi)

 Cảm ơn mn nhiều!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manh122: 19-02-2016 - 21:17

[anhquannbk]

Lâu lâu mới lên được

một bài nữa nhé

Bài 83:

Với a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1

Chứng minh rằng:

$23+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4(1+a)(1+b)(a+c)$

$ 23+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\ge 4(1+a)(1+b)(1+c) $

$ \leftrightarrow 23+3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \ge 4(a+b+c+ab+bc+ac+1+abc) $

$ \leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) +15 \ge 4(a+b+c)+4(ab+bc+ac) $

Đặt $ a+b+c=p, ab+bc+ac=q, abc=r $, ta có $ r=1 $.

BĐT cần chứng minh trở thành:

$ 3(p^{2}-2q)+15 \ge 4q+4p $

$ \leftrightarrow 3p^{2}-10q-4p+15 \ge 0 $ (*)

Mặt khác theo BĐT $ Schur $ ta có: $ r \ge \dfrac{p(4q-p^{2})}{9} $. Mà $ r=1 $ suy ra $ p(4q-p^{2}) \le 9 $ suy ra $ q\le \dfrac{p^{3}+9}{4p} $

Từ (*) ta suy ra BĐT cần chứng minh: $ 3p^{2}-10q-4p+15 \ge 3p^{2}-10.\dfrac{p^{3}+9}{4p}-4p+15 \ge 0 $

$ \leftrightarrow p^{3}-8p^{2}+30p-45 \ge 0 $

$ \leftrightarrow (p-3)(p^{2}-5p+45) \ge 0 $ (đúng) vì $ p\ge 3\sqrt[3]{r}=3 $ và $ p^{2}-5p+45=(p-\dfrac{5}{2})^{2}+\dfrac{35}{4}>0 $

Vậy BĐT được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 20-02-2016 - 01:04

[Gachdptrai12]

Bài 86:cho $x,y$ là các số thực thỏa $x+y+2=2(\sqrt{x-1} + \sqrt{y+2})$. Tìm min $\frac{1}{x}+\frac{1}{y+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 25-02-2016 - 09:18
Chỉnh Latex

[dunghoiten]

^{Bài $85$}

 

Bài này đọc ở đâu rồi, lời giải của nó như sau:

 

Vận tốc TB của người đó trên quãng đường $S: V_{tb}=\dfrac{s_1+s_2+s_3+..+s_n}{t_1+t_2+t_3+..+t_n}$

 

Gọi $v_1;v_2;v_3:...v_n$ lần lượt là vận tốc trên các chặng đường ta có:

 

$v_1=\dfrac{s_1}{t_1};v_2=\dfrac{s_2}{t_2}...v_n=\dfrac{s_n}{t_n}$

 

Giả sử $v_a$ là lớn nhất và $v_i$ là nhỏ nhất $(n \geqslant a > i \geqslant 1)$ ta có điều phải chứng minh là  $v_i<v_{tb}<v_a$

 

Chứng minh

 

Ta có $v_{tb}=\dfrac{v_1t_1+v_2t_2+...+v_nt_n}{t_1+t_2+...+t_n}=v_a\dfrac{\dfrac{v_1}{v_a}t_1+\dfrac{v_2}{v_a}t_2+...+\dfrac{v_n}{v_a}t_n}{t_1+t_2+...+t_n}$

 

Vì $\dfrac{v_1}{v_a};\dfrac{v_2}{v_a}...\dfrac{v_n}{v_a}<1$ nên $\dfrac{v_1}{v_a}t_1\dfrac{v_2}{v_a}t_2...\dfrac{v_n}{v_a}t_n <t_1+t_2+...+t_n \rightarrow v_a>v_{tb} (1)$

 

Chứng minh TT ta cũng có $v_i<v_{tb} (2)$

 

Từ $(1)(2) \rightarrow đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 21-02-2016 - 20:39