Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Hero]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1+x}{y+z}+\frac{z+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y}\leq 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$ 

[huya1k43pbc]

$BDT\Leftrightarrow 2\sum \left ( \frac{x}{y}-\frac{x}{y+z} \right )\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x^2z^2}{xyz(y+z)}\geq \frac{3}{2}(dung theo Svac va (xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3xyz)$

[TMW]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1+x}{y+z}+\frac{z+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y}\leq 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$ 

Thay 1 bằng tổng x + y + z thì ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:

$2\left ( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} +\frac{z}{x}-\frac{x}{y+z}-\frac{z}{x+y}-\frac{y}{x+z}\right)\geq 3$