cho a,b là các số thực dương chứng minh
$\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$
cho a,b là các số thực dương chứng minh
$\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$
Bất đẳng thức sai,cho $a=5,b=\frac{3}{5}$
cho a,b là các số thực dương chứng minh
$\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$
Bài này bạn ghi lộn dấu rồi kìa, đề bài đúng phải là: $\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\leq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$
Ta có:
$\left ( \sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}} \right )^2\leq (1+1)\left ( \frac{a+2b}{b^2+2a^2}+\frac{b+2a}{a^2+2b^2} \right )=2\left ( \frac{a+2b}{b^2+2a^2}+\frac{b+2a}{a^2+2b^2} \right )$
Như vậy ta đi chứng minh
$\frac{a+2b}{a^2+2b^2}+\frac{b+2a}{b^2+2a^2}\leq \frac{4}{a+b}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(a+2b)}{a^2+2b^2}+\frac{(a+b)(b+2a)}{b^2+2a^2}\leq 4$
$\Leftrightarrow 1+\frac{3ab}{a^2+b^2+b^2}+1+\frac{3ab}{a^2+a^2+b^2}\leq 4$
Do:
$\frac{3ab}{a^2+b^2+b^2}+\frac{3ab}{a^2+a^2+b^2}\leq \frac{3ab}{2ab+b^2}+\frac{3ab}{a^2+2ab}=\frac{3a}{2a+b}+\frac{3b}{a+2b}$
Mà
$\frac{3a}{2a+b}+\frac{3b}{2b+a}\leq 2\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (Hiển nhiên đúng)
Do vậy BĐT trên đã dc chứng minh!
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh