Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\geq ...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

cho a,b là các số thực dương chứng minh 

$\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$



#2
vta00

vta00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Bất đẳng thức sai,cho $a=5,b=\frac{3}{5}$



#3
haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết

cho a,b là các số thực dương chứng minh 

$\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\geq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$

Bài này bạn ghi lộn dấu rồi kìa, đề bài đúng phải là: $\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}}\leq \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$

Ta có:

$\left ( \sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^{2}+2a^{2}}} \right )^2\leq (1+1)\left ( \frac{a+2b}{b^2+2a^2}+\frac{b+2a}{a^2+2b^2} \right )=2\left ( \frac{a+2b}{b^2+2a^2}+\frac{b+2a}{a^2+2b^2} \right )$

Như vậy ta đi chứng minh 

$\frac{a+2b}{a^2+2b^2}+\frac{b+2a}{b^2+2a^2}\leq \frac{4}{a+b}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(a+2b)}{a^2+2b^2}+\frac{(a+b)(b+2a)}{b^2+2a^2}\leq 4$

$\Leftrightarrow 1+\frac{3ab}{a^2+b^2+b^2}+1+\frac{3ab}{a^2+a^2+b^2}\leq 4$

Do:

$\frac{3ab}{a^2+b^2+b^2}+\frac{3ab}{a^2+a^2+b^2}\leq \frac{3ab}{2ab+b^2}+\frac{3ab}{a^2+2ab}=\frac{3a}{2a+b}+\frac{3b}{a+2b}$

$\frac{3a}{2a+b}+\frac{3b}{2b+a}\leq 2\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (Hiển nhiên đúng)

Do vậy BĐT trên đã dc chứng minh!


Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#4
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
Thank bài này có thể AM-GM




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh