Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 234 trả lời

#1 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 17-01-2016 - 14:20

Mở đầu: Bất đẳng thức là một phần rất quan trọng trong kiến thức của Trung học cơ sở. Hơn nữa, đây lại thường là phần chọn học sinh giỏi trong các kì thi THCS và lại được nhiều bạn đam mê yêu thích, bao gồm cả mình.

Cho nên mình làm bài viết này với mục đích vừa có thể đóng góp cho diễn đàn vừa có thể tìm hiểu và hoàn thiện thêm kỹ năng về bất đẳng thức và tham khảo được nhiều bài và dạng cũng như cách làm thú vị khác nhau.

 

Về phương pháp bất đẳng thức:

- Biến đổi tương đương

- Phương pháp phản chứng

- Phương pháp làm trội

- Phương pháp quy nạp

- Bất đẳng thức AM-GM, AM-GM ngược dấu, AM-GM suy rộng

- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, dạng phân thức 

- Phương pháp Dirichle 

- Phương pháp bất đẳng thức phụ

........ Và nhiều bất đẳng thức khá mới so với đa số học sinh THCS như Honder, Schur, S.O.S, Jensen,... ( nhiều cái mình cũng mới tiếp xúc)

 

Trong mỗi phương pháp ta lại có nhiều hệ quả, những "liên quan" thú vị.... Nếu được hỏi về một số phương pháp bất đẳng thức thì có thể bạn sẽ kể một số phương pháp như trên, với mình thì mình cũng sẽ vậy. Sở dĩ mình chỉ nêu phương pháp mà không ghi rõ ra là vì đơn giản một là tài liệu về nó rất nhieuf và hai là mình nghĩ nó quá nhiều, nhưng không phải nhiều về "cái mình kể" đó mà đơn giản: Từ 3 số 1,2,3 nếu đặt riêng thì nó sẽ vẫn là 3 số; nhưng nếu kết hợp chúng lại ta sẽ có 1,2,3,12,13,123,132.... Bất đẳng thức cũng vậy, phương pháp gốc thì hữu hạn, giải được bài hay thì phải cần kết hợp nhiều phương pháp sẽ là vô hạn.... 

 

Mình sẽ không đi riêng một hướng về bất đẳng thức trong bài viết này, sẽ cũng như bạn gặp bài nào đó trong vị trí cô lập không có một dẫn đường nào cho bạn để giải nó và việc bạn phải làm là vận dụng kết hợp kiến thức của bạn để giải. 

 

Sau đây là các bài bất đẳng thức mang tính tổng hợp của mình, dù bài khó hay dễ cũng mong các bạn giải rõ ý tưởng, hạn chế dùng kí hiệu và cách giải càng hay càn thú vị càng tốt.

 

Bài tập:

 

Bài 1: Cho $z,y,z>0;x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$

CM: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$

CM: $\frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}+\frac{b}{9b^{3}+3c^{2}+a}+\frac{c}{9c^{3}+3a^{2}+b}\leq 1$

 

Bài 3: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$

Tìm min: $A=\frac{a^{k+1}+k}{b^{2}+1}+\frac{b^{k+1}+k}{c^{2}+1}+\frac{c^{k+1}+k}{a^{2}+1}$  $k\in \mathbb{N}$

 

Bài 4: Cho $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

 

Bài 5: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm max: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

 

Bài 6:  Cho $a,b,c>0$ 

CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 17-01-2016 - 19:36

:huh:


#2 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 17-01-2016 - 15:36

Nhìn mọi người yên lặng quá, tôi xin tiên phong bài mở đầu:

Bài 1: Cho $z,y,z>0;x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$

CM: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

Áp dụng BĐT AM-GM: 

$(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)\geq (x+y+z)^{3}$

$\Rightarrow BĐT\Leftrightarrow t^{3}\geq (2t+9)^{2}$$\Leftrightarrow t(\sqrt{t}-2)\geq 9$    ($t=a+b+c$)

$\Leftrightarrow t\geq 9$   

Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ $\Rightarrow xyz\geq 27\Rightarrow x+y+z\geq 9 (đpcm)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 17-01-2016 - 16:03

:huh:


#3 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 17-01-2016 - 16:07

Bài 4: Cho $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:

$a^{3}-5a+2=(a-2)(a^{2}+2a-1)\leq 0$

$b^{3}+5a-5ab-1=(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq (b-1)(a^{2}+a+1-5a)=(b-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

$c^{3}+5ab-5abc-1=(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^{2}+a+1-5a)=(c-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

Cộng 3 bđt trên lại với nhau$\Rightarrow$ đpcm


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#4 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 17-01-2016 - 17:09

Bài 2: Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$

CM: $\frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}+\frac{b}{9b^{3}+3c^{2}+a}+\frac{c}{9c^{3}+3a^{2}+b}\leq 1$

Ta có:
$(a+b+c)^{2}=(3a\sqrt{a}.\frac{1}{3\sqrt{a}}+b\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{c}.\sqrt{c})^{2}\leq (9a^{3}+3b^{2}+c)(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)$
$\Rightarrow 9a^{3}+3b^{2}+c\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}$
$\Rightarrow \frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}\leq \frac{a(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)}{(a+b+c)^{2}}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ca}{(a+b+c)^{2}}$
Tương tự cộng lại ta được:
$\sum \frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}\leq \frac{\frac{1}{3}+\frac{a+b+c}{3}+(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}\leq \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{1}=1$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#5 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 17-01-2016 - 18:53

Bài 3 nè:  $a^{k+1}+k =a^{k+1}+\underbrace{1+1+...+1}$ (k số 1)

Theo AM-GM ta có : $a^{k+1}+\underbrace{1+1+...+1} \geq k.\sqrt[k]{a^{k+1}}= a.(k+1)$

Tương tự : $b^{k+1}+k \geq b.(k+1) ; c^{k+1}+k\geq c.(k+1)$

=> $A\geq (k+1).(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1})$ (1)

Có : $\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}$

nên $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}= (a+b+c) - (\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1})\geq 3- (\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}) = 3 - \frac{1}{2}.(ab+bc+ca)$

Vì $3.(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9$ => $ab+bc+ac\leq 3$

=> $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\geq 3- \frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$ (2)

Từ đó: $A\geq \frac{3}{2}.(k+1)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 17-01-2016 - 20:28


#6 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 17-01-2016 - 19:20

Bài 4: Cho $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

 

 Bài 4: ĐPCM <=> $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\leq 5$ <=> $A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\leq 5$

Do vai trò của a,b,c bình đẳng, giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$ 

Vì $a\leq b$ và $b\leq c$ => $(a-b)(b^2-c^2)\leq 0$ <=> $ab^2+bc^2-ac^2-b^3\leq 0$ <=> $b^3\leq ab^2+bc^2-ac^2$

Chia 2 vế cho abc>0 => $\frac{b^2}{ca}\leq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{c}{b}$ (1)

Mặt khác $\frac{a^2}{bc}\leq \frac{a^2}{ac}=\frac{a}{c}$ (2) và $\frac{c^2}{ab}\leq \frac{2c}{ab}\leq \frac{2c}{b}$ (3)

Cộng vế theo vế (1);(2);(3) : $A\leq (\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )$

Vì từ giả thiết: $a\leq c\leq 2\leq 2a$ => $\frac{2a}{c}\geq 1$ và $\frac{c}{a}\geq 1>\frac{1}{2}$

=> $(\frac{2a}{c}-1).(\frac{c}{a}-\frac{1}{2})\geq 0$=> $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$

Tương tự: $\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\leq \frac{5}{2}$

Cộng vế theo vế : $A\leq 5$ => dpcm

Dấu = xảy ra khi a=b=1 và c=2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 17-01-2016 - 19:29


#7 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 17-01-2016 - 19:44

Bài 4: Cho $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

Đặt: x+1=a, y+1=b , z+1=c

$1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

Khai triển(1) ra ta được:

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x^{2}+3\sum x+3\leq 5xyz+5\sum xy+5\sum x+5$

$\Leftrightarrow 2(x+y+z)+5xyz+5\sum xy+2\geq \sum x^{3}+3\sum x^{2}$   (*)

Do $0\leq x,y,z\leq 1$

nên ta có: $(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\Rightarrow 1+\sum xy\geq xyz+\sum x$

                $\Rightarrow 2+2\sum xy\geq 2xyz+2\sum x$  (**)

Từ (*) và (**) ta sẽ có điều cần chứng minh nếu:

$ 4(x+y+z)+7xyz+3\sum xy\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Đến đây thì dễ chém rồi: Do $0\leq x,y,z\leq 1$ nên hiển nhiên:

$\sum x\geq \sum x^{2};\sum x\geq \sum x^{3};\sum xy\geq 0;xyz\geq 0 $

cộng lại ta có ĐPCM.

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{5}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (x;y;z)=(1,0,0)\Leftrightarrow (a,b,c)=(2,1,1)$

TIẾP THEO:

Bài 7: a) Cho a,b,c>0:

CM: $3(a+b+c)^{2}\leq (a+2)(b+2)(c+2)$

           bCho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{3(a+b+c)^{2}}{4}$

Bài 8: Cho $x,y,z\geq 0 ; x+y+z=1.$

CM: $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$


:huh:


#8 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 17-01-2016 - 20:01

góp ý bài 3 chỉ cần sửa lại AM-GM cho k+1 số bạn nhé min là 3(k+1)/2 còn lại AM-GM ngược dấu đúng ròi

#9 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 17-01-2016 - 20:33

Bài 9: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a+b+c=3$

Chứng minh: $\frac{2a^2+b^2+c^2}{4-bc}$ + $\frac{a^2+2b^2+c^2}{4-ca} + \frac{a^2+b^2+2c^2}{4-ab}$$\geq 4abc$



#10 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 17-01-2016 - 20:45

Bài 10: Cho x,y,z là các  số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1} + \frac{1}{9xyz}$



#11 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 17-01-2016 - 20:47

góp ý bài 3 chỉ cần sửa lại AM-GM cho k+1 số bạn nhé min là 3(k+1)/2 còn lại AM-GM ngược dấu đúng ròi

sửa rồi nha bạn

 

Bài 5: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm max: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

Ta có:  

$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$

$\Rightarrow \frac{P}{a+b+c}+xy+yz+zx=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (x+y+z khác 0)

 

Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$; Đặt x+y+z=Q

$\Rightarrow \frac{P}{Q}+\frac{Q^{2}-1}{2}=1$

$\Rightarrow 1=-\frac{1}{2}+\frac{P}{2Q}+\frac{P}{2Q}+\frac{Q^{2}}{2}\geq -\frac{1}{2}+3\sqrt[3]{\frac{P^{2}}{8}}$

$\Rightarrow \frac{P^{2}}{8}\leq \frac{1}{8}\Rightarrow P\leq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow xy+yz+zx=0; x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 

P/s: bài 6 dung S.O.S mời các bạn


:huh:


#12 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 17-01-2016 - 21:33

 

 

Bài 7: a) Cho a,b,c>0:

CM: $3(a+b+c)^{2}\leq (a+2)(b+2)(c+2)$

           bCho a,b,c là các số thực:

CM: $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{3(a+b+c)^{2}}{4}$

 

Bài a sai đề.Phải là $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)$

Lời giải:

Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:

$(a^{2}+2)(1+\frac{(b+c)^{2}}{2}) \geq (a+b+c)^{2}$

Ta quy bài toán về chứng minh:$(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 3[1+\frac{(b+c)^{2}}{2}]$

                                       $\leftrightarrow (bc-1)^{2}+\frac{(b-c)^{2}}{2} \geq 0$ :Đúng 

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\pm 1$

---------------

b,Lời giải

Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz

Ta có $(a^{2}+1)(1+(b+c)^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

Nên ta quy bài toán về chứng minh $4(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq 3(1+(b+c)^{2})$

                                                     $\leftrightarrow (b-c)^{2} +(2bc-1)^{2} \geq 0 $ (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

 

P/s:Ý kiến 1 chút.Chủ topic nên đăng những bài tập phù hợp với THCS.Đừng nên đăng những phương pháp như S.O.S,dồn biến.......Để không làm mất đi tính tự nhiên của bđt THCS :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 17-01-2016 - 21:35


#13 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 17-01-2016 - 22:09

Bài 8: Cho $x,y,z\geq 0 ; x+y+z=1.$

CM: $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$

Do x+y+z=1.

 

$xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}\Leftrightarrow (xy+yz+xz)(x+y+z)-2xyz\leq \frac{7}{27}(x+y+z)^{3}$

 

Khai triển $\Rightarrow$ BĐT $\Leftrightarrow 7(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz\geq 6xy(x+y)+6yz(y+z)+6zx(z+x)$  (1)

Mà $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz$ (AM-GM)

 

$\Rightarrow$ (1)$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

Hiển nhiên theo bđt Schur.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

 

Bài 11: $a,b,c>0; a+b+c=3.$

CM: $\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 12: $a,b,c\geq 0; a+b+c=1$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq \frac{1}{4}$

 

Bài 13: Cho $a,b,c>0$

CM: $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

 

P/s:Ý kiến 1 chút.Chủ topic nên đăng những bài tập phù hợp với THCS.Đừng nên đăng những phương pháp như S.O.S,dồn biến.......Để không làm mất đi tính tự nhiên của bđt THCS  :icon6: 

Đồng ý, những bài dung S.O.S, dồn biến.. có thể bỏ qua, nếu mem "già" giải được thì cũng giải để mọi người tham khảo, hành trang :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 17-01-2016 - 22:33

:huh:


#14 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 11:44

bài 11 dùng AM-GM ngược dấu bđt$\Leftrightarrow \sum (a-\frac{ab^{2}}{a+b^{2}})$ cần chúng minh $b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leq a+b+c$ đến đây dùng bđt c-s cho bộ số(a,b,c) và (ab,bc,ca) ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 11:58


#15 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 17:53

Bài 14: Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$

Bài 15: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq (a^2+b^2+c^2).(4-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2})$

Bài 16: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2\leq 2010$

Tìm min của biểu thức $A=xy+y.(z-1)+z.(x-2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:16


#16 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 18:12

Bài 17: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z+2=xyz$

CMR: a, $2.(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\leq x+y+z+6$

          b, $xy+yz+zx\geq \frac{3}{4}$

Bài 18: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx+2xyz=1$

a,$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}.\sqrt{xyz}$

b,$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.(x+y+z)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:35


#17 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 18:13

Bài 11: $a,b,c>0; a+b+c=3.$

 

CM: $\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Giải:

$a-\frac{a^{2}}{a+b^{2}}+b-\frac{b^{2}}{b+c^{2}}+c-\frac{c^{2}}{c+a^{2}}\leq a+b+c-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{3}{2}$

Mà:

AM-GM:

$\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{b\sqrt{a}}{2}\leq \frac{b(a+1)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{\sum ab+\sum a}{4}\leq \frac{3}{2}$

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$


:huh:


#18 ThachAnh

ThachAnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Ngắm mưa

Đã gửi 18-01-2016 - 18:22

Bài 8: Cho $x,y,z\geq 0 ; x+y+z=1.$

CM: $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$

Bài toán này có 2 cách "gần gũi" với học sinh THCS hơn, mình xin được bổ sung ^^

Cách 1 : Ta có bđt cơ bản: (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y) $\leq$ xyz <=> (1-2x)(1-2y)(1-2z) $\leq$ xyz 

Mặt khác: $xyz\leq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}=\frac{1}{27} => (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

<=> 1+4(xy+yz+xz)-2(x+y+z)-8xyz $\leq \frac{1}{27}$ => $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$ (đpcm)

 

Cách 2: Trong 3 số $x-\frac{1}{3}; y-\frac{1}{3}; z-\frac{1}{3}$ tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Giả sử đó là:$ x-\frac{1}{3}; y-\frac{1}{3}$

ta có: $(x-\frac{1}{3})(y-\frac{1}{3})\geq 0$ => $xy+\frac{1}{9}\geq \frac{1}{3}(x+y) => xyz+\frac{z}{9}\geq \frac{1}{3}z(x+y) => -2xyz\leq \frac{2z}{9}-\frac{2}{3}z(x+y)$ 

=> $xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+xy$

Mà: $\frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+xy\leq \frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+\frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(1-z)+\frac{1}{4}(1-z)^{2}=-\frac{1}{12}(z-\frac{1}{3})^{2}+\frac{7}{27}\leq \frac{7}{27}$

=> ĐPCM 


"Knowledge knows no country but the learner must know the Fatherland".

                                                                                               (Louis Pasteur)


#19 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 20:53

Giải bài 10 nhé: Ta có:+ $xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=\frac{1}{3}$                                      

                                      + $xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}=\frac{1}{27}$ 

$A=\sum \frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{9xyz} = \sum \frac{1}{x+\frac{1}{x}}+\frac{1}{9xyz}$

Cosi-Swac: $\sum \frac{1}{x+\frac{1}{x}}\geq \frac{9}{\sum x+\sum \frac{1}{x}}$

=>$A= \frac{9}{1+ \frac{xy+yz+zx}{xyz}}+\frac{1}{9xyz}$ (Vì x+y+z=1)                              => $A\geq \frac{9}{\frac{1}{3xyz}+\frac{1}{27xyz}}+\frac{1}{9xyz}= \frac{243xyz}{10}+ \frac{1}{9xyz}=(\frac{243xyz}{10}+\frac{1}{30xyz}) +\frac{7}{90xyz}$

Theo AM-GM: $\frac{243xyz}{10}+\frac{1}{30xyz}\geq 2\sqrt{\frac{243xyz}{10}. \frac{1}{30xyz}}= 2.\frac{9}{10}=\frac{9}{5}$ $

$A\geq \frac{9}{5}+ \frac{7}{90.\frac{1}{27}}=\frac{9}{5}+\frac{21}{10}= \frac{39}{10}$

Dấu bằng xảy ra  $x=y=z=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 20:59


#20 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 21:04

Bài 9 nha: http://violet.vn/phutho/present/show/entry_id/10584258






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh