Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 261 trả lời

#241 amentminh2k5

amentminh2k5

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 13-08-2019 - 22:51

Giúp mk vs!!!!!!!

1. Cho a, b, c là các số ko âm. C/m rằng: (a + b + c)$^{3}$ $\geq$ 6$\sqrt{3}$(a - b)(b - c)(c - a)

2. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = $\sqrt{5}$. C/m rằng: (a$^{2}$ - b$^{2}$)(b$^{2}$ - c$^{2}$)(c$^{2}$ - a$^{2}$) $\leq$ $\sqrt{5}$

 



#242 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 24-10-2019 - 16:28

 bài 8: do x,y,z bình đẳng nên giả sử $0\leq x\leq y\leq z\rightarrow 3x\leq 1=x+y+z\leq 3z\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}\leq z,y\leq \frac{1}{2}.$ 

ta có  $xz=\frac{1}{3}(x+z-\frac{1}{3})+xz-\frac{z}{3}-\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+(x-\frac{1}{3})(z-\frac{1}{3})\Rightarrow xz\leq \frac{1}{3}(\frac{2}{3}-y) (x\leq 3,x+y+z=1)$   (*)

mà $y\leq \frac{1}{2}$  kết hợp (*) $\Rightarrow xz(1-2y)\leq \frac{1}{3}(1-2y)(\frac{2}{3}-y)$

xét VT=(x+z)y+xz(1-2y)$\leq (1-y)y+\frac{1}{3}(\frac{2}{3}-y)(1-2y)\leq \frac{7}{27}-\frac{1}{3}(y-\frac{1}{3})^{2}\leq \frac{7}{27}$



#243 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 24-10-2019 - 16:40

bai 11: dễ cm VT$\geq \frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)$

ta có $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca(a+b+c=3)$

 

=> VT$\geq \frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{3}{2}$



#244 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 29-10-2019 - 19:51

Cho a,b,c>0. cmr $\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Henry00Harry: 29-10-2019 - 21:42


#245 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 05-11-2019 - 20:50

Cho a,b,c>0. cmr $\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

.
Thử sức: VT>= tong cac hoán vị (ab)^4/(abc)^3 >=( abc)^2(b^2+c^2+a^2)/(abc)^3. >= ab+bc+ca/abc=vp
dấu bằng Xảy ra khi a=b=c. ở trên chỉ sử dụng bđt x^2+y^2+z^2>xy+yz+zx

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 05-11-2019 - 20:52

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#246 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 08-11-2019 - 21:37

Bài 53: Cho hai số thực $a,b$ thoả mãn $a^2+2b^2=1$.Chứng minh rằng:
$-\sqrt{\frac{31}{3}}\leqslant 3a-2b \leqslant \sqrt{\frac{31}{3}}$

Bài 54; Chứng minh rằng với mọi $x\in [-1;1]$,ta có:
$-5\leqslant 3x+4\sqrt{1-x^2}\leqslant 5$

54:  ($(3x+4\sqrt{1-x^{2}})^{2}\leq (9+16)(1-x^{2}+x^{2})=25 \rightarrow -5\leq 3x+4\sqrt{1-x^{2}}\leq 5$



#247 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 08-11-2019 - 21:52

Cho a,b,c>0. cmr $\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

cách khác(chỉ để tham khảo thôi) : BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{5}}{(bc)^{3}}\geq \sum \frac{1}{a}$

Xét 2 dãy ($(a^{5},b^{5},c^{5})$ và $(\frac{1}{(bc)^{3}},\frac{1}{(ca)^{3}},\frac{1}{(ab)^{3}})$ cùng thứ tự nên theo bổ đề vè dãy đơn điệu

$\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{(bc)^{3}}\geq \frac{a^{2}}{c^{3}}+\frac{b^{2}}{a^{3}}+\frac{c^{2}}{b^{3}}$  (1)

mà $(a^{2},b^{2},c^{2})$ và $(\frac{1}{a^{3}},\frac{1}{b^{3}},\frac{1}{c^{3}})$ ngược chiều nên theo bổ đề

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a}\leq$ VP(1) => Q.E.D

 

BỔ ĐỀ CÁC DÃY ĐƠN ĐIỆU:::

1) nếu có 2 dãy $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n},,b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{n}$

thì $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+...+a_{n}b_{i_{n}}$  ( với$i_{1},i_{2},...,i_{n}$ là hoán vị của 1,2,...,n)

20 tương tự nếu hai dãy trên nguoc chiều nhau chiều thì BDt đảo chiều



#248 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 08-11-2019 - 22:00

đợi tí zem lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 08-11-2019 - 22:30

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#249 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 08-11-2019 - 22:21

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x.y.z= 1. Chứng minh rằng:
$\ \frac{x^{2}y^{2}}{2x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{2y^{2}+z^{2}+3y^{2}z^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{2z^{2}+x^{2}+3z^{2}x^{2}}\leq \frac{1}{2}$

Xét L=x^2y^2/2x^2+y^2+ 3x^2y^2
= 1/2(xz)^2 + (yz)^2 + 3 (quy đồng với z^2)
=< 1/2x^2z^2 + 2yz + 2=1/2 (x^2z^2+yz+1) (áp dụng cauchy (yz)^2+1>= 2yz
cmtt các bđt O.Z còn lại rồi cộng vế thì ta đc:
VT=< 1/2.(L+O+Z)=1/2 (biến đổi bđ thức ở bên trong)
Dấu bằng xảy ra khi x=.y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 08-11-2019 - 22:44

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#250 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 12-11-2019 - 15:16

74:

 

 có $\sum \frac{1}{x+1}\geq 2\Rightarrow \frac{1}{x+1}\geq \frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{(x+1)(y+1)}}$

Tương tự các BĐT còn lại rồi nhân vế với nhau=> dpcm



#251 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 12-11-2019 - 15:46

85:

 

VÌ $0\leq a\leq b\leq c\leq 1\rightarrow ac\geq abc,bc\geq abc,ca\geq abc$

=> VT$\leq \frac{a+b+c}{abc+1}$

từ Gt$\rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0,(ab-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1,c+ab\leq abc+1\Rightarrow a+b+c\leq c+ab+1\leq abc+2\leq 2(abc+1)......(a\geq 0)$

$\Rightarrow Vt\leq \frac{2abc+2}{abc+1}=2$

dấu = $\Leftrightarrow (a,b,c)\epsilon (0,1,1)$



#252 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 12-11-2019 - 19:34

86,
Đặt (2x,3y,4z)---->(a,b,c).BĐT trở thành
tổng các hoán vị (a/b^2+c^2)
Điểm rơi là a=b=c=1/căn 3 ; a^2+b^2+c^2=1
thì min BDT là 3.căn3/2=3.căn3.(a^2+b^2+c^2)/2
xét hiệu: a/b^2+c^2 - 3.căn 3. a^2/2
= a/1-a^2 -3.căn 3.a^2/2 = (3.a.căn3 +6)(a-1/căn3)^2>=0
cmtt rồi cộng vế với vế ta đc đpcm
Dấu bằng Xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/căn 3

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#253 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 17-11-2019 - 17:05

121:P$= \sum a^{2}+6(\sum \frac{1}{1+a^{2}}+abc)=\sum a^{2}+2.3abc+6\sum\frac{1}{1+a^{2}}=\sum a^{2}+2\sum ab+6(3-\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+1})\geq (a+b+c)^{2}+18-6\sum \frac{a}{2}$

Đặt a+b+c=a (a>0)$\rightarrow P\geq a^{2}-3a+18$

mà $ab+bc+ca=3abc\rightarrow \sum \frac{1}{a}\doteq 3\geq \frac{9}{a+b+c}\rightarrow a+b+c\geq 3$

$\Rightarrow P\geq a^{2}-6a+9+9+3a=(a-3)^{2}+9+3a\geq 18$



#254 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 17-11-2019 - 17:12

97

P$=\frac{(x+y+z-1)^{2}}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}+\sum \frac{1}{x}=\frac{(x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+1}{\sum x^{2}y}+\sum \frac{1}{x}$

Áp dung BĐt $3\sum (x^{2}y)\leq (x+y+z)\sum x^{2}=3(x+y+z)$

Đặt x+y+z=a(a>0)

$\Rightarrow P\geq \frac{a^{2}-2a+1}{a}+\frac{9}{a}$

Mà$3\sum x^{2}\geq a^{2}\Rightarrow a\leq 3$

$\Rightarrow P\geq a+\frac{9}{a}+\frac{1}{a}-2\geq 6+\frac{1}{3}-2=\frac{13}{3}$



#255 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 17-11-2019 - 21:18

121:P$= \sum a^{2}+6(\sum \frac{1}{1+a^{2}}+abc)=\sum a^{2}+2.3abc+6\sum\frac{1}{1+a^{2}}=\sum a^{2}+2\sum ab+6(3-\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+1})\geq (a+b+c)^{2}+18-6\sum \frac{a}{2}$

Đặt a+b+c=a (a>0)$\rightarrow P\geq a^{2}-3a+18$

mà $ab+bc+ca=3abc\rightarrow \sum \frac{1}{a}\doteq 3\geq \frac{9}{a+b+c}\rightarrow a+b+c\geq 3$

$\Rightarrow P\geq a^{2}-6a+9+9+3a=(a-3)^{2}+9+3a\geq 18$

Đề là $x+y+z$ chú Tùng viết lại thành $a+b+c$

Nghi lắm 


"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#256 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 17-11-2019 - 22:44

$92+111,1$
92,
$\frac{a}{b^2+2}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{b^2+2}=\frac{1}{2}.a-\frac{ab^2}{b^2+2}=\frac{a}{2}-\frac{ab^2}{2\frac{b^2}{2}+2}\geq \frac{a}{2}-\frac{ab^2}{3.\sqrt[3]{\frac{b^4}{2}}}=\frac{a}{2}-\frac{\sqrt[3]{2.a^3b^2}}{3}\geq \frac{a}{2}-\frac{2a+2ab}{9}$
CMTT rồi cộng vế với vế rồi bđ một ít là da đc đpcm / dấu bằng khi a=b=c=2
111,1
Sử dụng bđt cauchy như sau rồi cm 2 bđt phụ bằng bđtđ :
$2\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(x+1)^2}$$2\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(x+1)^2}$
cmtt rồi cộng vế với vế
Lại có 2 bđt phụ sau:
$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{1+ab}$
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$
đảo đi đảo lại mấy lần là xog
Dấu bằng khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 18-11-2019 - 00:58

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#257 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 18-11-2019 - 20:27

87:Vì $0\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4(a+b+c)-8+abc=4+abc\geq 4$ (a+b+c=3)

có $\sum a^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)\Rightarrow 4\sum a^{3}=108-12(a+b)(b+c)(c+a)$
$\rightarrow P= 108-11(a+b)(b+c)(c+a)$

Lại có $(a+b)(b+c)(c+a)=\sum ab(a+b)+2abc=3(ab+bc+ca)-abc$$\Rightarrow P= 108-33(ab+bc+ca)+11abc$

Mà$abc+4\leq 2\sum ab\Rightarrow 11abc+44\leq 22\sum ab\Rightarrow P\leq 108-11\sum ab-44\leq 108-11.2-44=42$

 



#258 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 18-11-2019 - 20:34

107.3

Có $\ \frac{yz}{x^{2}+1}=\frac{yz}{x^{2}+y^{2}+x^{2}+z^{2}}\leq \frac{yz}{2\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}}= \frac{1}{4}.(\frac{2yz}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}})\leq \frac{1}{4}.(\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+z^{2}})$

Cmtt cộng vế suy ra $\sum \frac{yz}{x^{2}+1}\leq \frac{3}{4}$



#259 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 18-11-2019 - 22:41

107.3
Có $\ \frac{yz}{x^{2}+1}=\frac{yz}{x^{2}+y^{2}+x^{2}+z^{2}}\leq \frac{yz}{2\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}}= \frac{1}{4}.(\frac{2yz}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}})\leq \frac{1}{4}.(\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+z^{2}})$
Cmtt cộng vế suy ra $\sum \frac{yz}{x^{2}+1}\leq \frac{3}{4}$

Hai bài trên có someone làm rồi.

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#260 Henry00Harry

Henry00Harry

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Another Dimension

Đã gửi 19-11-2019 - 19:50

102:

VT=$\sum \frac{1}{x^{2}+2(yz)^{2}+1}$

có $x^{2}+2(yz)^{2}+1\geq 2xyz+2yz$ Tương tự

$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{xyz+yz})=\frac{1}{8}(\sum \frac{4}{xyz+yz})\leq \frac{1}{8}(\frac{3}{xyz}+\sum \frac{1}{yz})$

Mà x+y+z=3xyz $\Rightarrow \sum \frac{1}{yz}=3\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}\Rightarrow xyz\geq 1$

$\Rightarrow Vt\leq \frac{1}{8}(3+3)=\frac{3}{4}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh