Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 237 trả lời

#21 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 21:25

Bài 6:  Cho $a,b,c>0$ 

CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]

 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#22 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 21:25

Bài 14: Áp dụng Bunhiacopxki ta có

$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}).(\sqrt{a.(b+c)}+\sqrt{b.(c+a)}+\sqrt{c.(a+b)})\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$ 

Mặt khác $(\sqrt{a.(b+c)}+\sqrt{b.(c+a)}+\sqrt{c.(a+b)})= \frac{\sqrt{2}}{4}.(2.\sqrt{2a.(b+c)}+2.\sqrt{2b.(c+a)}+2.\sqrt{2c.(a+b)})\leq \frac{\sqrt{2}}{4}.(2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b)$ (Bất đẳng thức Cosi) $\sqrt{2}(a+b+c)$

=> $P\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{2}.(a+b+c)}+\frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$

$P= \frac{a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}}{\sqrt{2}(a+b+c)}+ \frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+ \sqrt{2}.(\frac{(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{a+b+c})$

Áp dụng AM-GM => $P\geq \frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}.2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:29


#23 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 21:38

Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$

P/s: các bạn chú ý a,b,c chưa > 0 nha!!! 

Bài 20: Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt{2}$

Tìm min: $P= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:42


#24 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 18-01-2016 - 21:48

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{2p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-01-2016 - 22:53


#25 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 21:49

Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$

P/s: các bạn chú ý a,b,c chưa > 0 nha!!!

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[4\sum \frac{ab}{3+c^2} \leqslant  \sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2} \leqslant \sum \left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )=3.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#26 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 21:50

Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$

Ta có: Áp dung bđt AM-GM:

 

$\frac{ab}{3+c^{2}}=\frac{ab}{3-a^{2}+3-b^{2}}\leq \frac{ab}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}$

 

$\Rightarrow \frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{\left | ab \right |}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{3-b^{2}}+\frac{b^{2}}{3-a^{2}})=\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})$

Tương tự:

 

$\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b^{2}}{b^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+a^{2}})$

$\frac{ca}{3+b^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{c^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}})$

 

Cộng vế theo vế suy ra đpcm.

Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1


:huh:


#27 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-01-2016 - 21:50

Bài 12: $a,b,c\geq 0; a+b+c=1$
CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq \frac{1}{4}$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$
$=>2a\geqslant b+c$
$=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geqslant a^3+b^3+c^3+3bc(b+c)=a^3+(b+c)^3\geqslant \frac{1}{4}(a+b+c)^3=\frac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2};c=0$ và hoán vị

#28 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 18-01-2016 - 22:00

 

Bài 20: Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt{2}$

Tìm min: $P= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$

 Áp dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$
 Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x;\sqrt{c^2+a^2}=y;\sqrt{a^2+b^2}=z$ thì $a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2};b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2};c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}$ và $x+y+z=3\sqrt{2}$
$\rightarrow \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+2x-3x) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}[\frac{(y+z)^{2}}{2x}+2x-3x] \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}[2(y+z)-3x]$
Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có 
$\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}[2(x+y+y+z+z+x)-3x-3y-3z]=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-01-2016 - 22:02


#29 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 22:11

bài 12 có vấn đề thì phải nhỉ dấu bằng đâu có xayr ra đối xứng mô
số trc abc là 15/4 chứ mình xin giải quết bài này và hằng số k min nhất thỏa bài này là 15/4 lun đó đồng bậc hóa bđt <=>
4(a^3+b^3+c^3)+15abc>=(a+b+c)^3 khai triển ra thì có 3(a^3+b^3+c^3)+9abc>=3ab(a+b)+3(b+c)bc+3(a+c)ac đúng vì đây là bđt schurrr
ps ra net mình sẽ post lại bằng latex rõ ràng :3 ây` số 6 dùng hoán vị là ra mệt ghê post bậy rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 22:28


#30 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 22:16

Bài 21: Cho a,b,c>0.

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 22: Cho $X,Y>0$

CM: $X^{Y} + Y^{X}> 1$

 

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 

mình không thạo loại này @

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]

 

Nếu giải được bằng S.O.S (bài gốc) rồi thì đăng giúp mình cái, mình vẫn còn chưa vững về S.O.S (lời giải kỹ tí nhé mang tính chất tham khảo 1 bài thôi chứ topic này không đi sâu vào cái này)


:huh:


#31 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 22:28

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 

 

Gọi $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC,$ ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R,\,R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{S}{p}$ và $p = \frac{a+b+c}{2}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2abc}}.\] Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{343}{38},\,b=\frac{39}{38},\,c=10.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-01-2016 - 22:30

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#32 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 22:34

bài 21 anh huyện hình như có đăng mở rộng bài ni nè em đọc rồi zô vấn đề
a^2+b^2+c^2+2abc+1 theo nguyên lí đirecle thì (a-1)(b-1)>=0 mà a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+abc+1=(a-b)^2+(c-1)^2+3c(a-1)(b-1)>=0 rồi dpcm

#33 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 22:52

Bài 21: Cho a,b,c>0.

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 22: Cho $X,Y>0$

CM: $X^{Y} + Y^{X}> 1$

 

bài 21 anh huyện hình như có đăng mở rộng bài ni nè em đọc rồi zô vấn đề
a^2+b^2+c^2+2abc+1 theo nguyên lí đirecle thì (a-1)(b-1)>=0 mà a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+abc+1=(a-b)^2+(c-1)^2+3c(a-1)(b-1)>=0 rồi dpcm

 

Bài 21: 

Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.

$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$

 

Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$

Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~

 

Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )

 

Continue...:

Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


:huh:


#34 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 18-01-2016 - 22:53

Gọi $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC,$ ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R,\,R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{S}{p}$ và $p = \frac{a+b+c}{2}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2abc}}.\] Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{343}{38},\,b=\frac{39}{38},\,c=10.$

Đã edit ! 



#35 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 22:56

bài 23 cho a,b,c là các số thực dương chứng minh (a+b+c)^3>=27/4(a^2b+b^2c+c^2a+abc)

#36 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 23:07

mình làm là vt>=3[(a+b+c)^2(1/a+1/b+1/c)]^(1/3) áp dụng am-gm abc(a+b+c)<=(ab+bc+ca)^2/3 nên 1/a+1/b+1/c>=3(a+b+c)/(ab+bc+ca) nên vt>=3[3(a+b+c)^3/(ab+bc+ca)] sau đó áp dụng am-gm nữa: (ab+bc+ca)^2(a2+b2+c2)<=(a+b+c)^6/27 nên (ab+bc+ca)<=(a+b+c)^3/9 từ đó suy ra dpcm bài 23 của bạn trên p/s đua nhau post bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 23:15


#37 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 23:09

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{2p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 

 

Lập luận tương tự như trên ta đưa bài toán về chứng minh \[\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \leqslant a+b+c.\] Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#38 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 19-01-2016 - 18:01

Bài 21:
Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.
$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$

Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$
Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~

Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )

Continue...:
Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

23/
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$.Từ giả thiết $=>p^2-2q=3$
Giả sử $P\geqslant 9$
BĐT$<=>p^2-4pr-18r-3\geqslant 0<=> r\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $r\geqslant \frac{p(4p-q^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương: $\frac{p(p^2-6)}{9}\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
$<=>(p-3)(4p^3-6p^2-33p+9)\geqslant 0$
Điều này luôn đúng vì $0<p\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Suy ra đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-01-2016 - 18:04


#39 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 19-01-2016 - 22:58

 

Bài 21:

Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.

$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$

 

Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$

Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~

 

Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )

 

Continue...:

Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 23: 

Từ giả thiết: 

$\Rightarrow 0<a,b,c<\sqrt{3}$

Xét bài toán nhỏ với $0<x<\sqrt{3}$

 

Ta luôn có :

$2x+\frac{1}{x}\geq 3+\frac{1}{2}(x^{2}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{(2-x)(x-1)^{2}}{x}\geq 0$

Hiển nhiên đúng.

 

Thay vào bài toán ta có ngay  Pmin=9 khi a=b=c=1.

--------------------------------

23/
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$.Từ giả thiết $=>p^2-2q=3$
Giả sử $P\geqslant 9$
BĐT$<=>p^2-4pr-18r-3\geqslant 0<=> r\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $r\geqslant \frac{p(4p-q^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương: $\frac{p(p^2-6)}{9}\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
$<=>(p-3)(4p^3-6p^2-33p+9)\geqslant 0$
Điều này luôn đúng vì $0<p\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Suy ra đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

p,q,r ứng dụng hay mà ở THCS còn hạn chế lắm...

-----------------------------

 

Bài 13: Cho $a,b,c>0$

CM: $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Giải:

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow (1+abc)\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq 3$

 

$\Leftrightarrow \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+ca+c}{c(1+a)}\geq 6\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right ]\geq 6$

Hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

---------------------------

Bài 24: Cho $x,y,z>0$

CM: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz+8\geq 5(a+b+c)$

Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :

CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$


:huh:


#40 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-01-2016 - 23:53

 

Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :

CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$

 

 

$b+c>a \Leftrightarrow a(b+c)>a^2 \Leftrightarrow 2a(b+c)>a(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

Nhờ đó:
$\sum\frac{a}{b+c}<\sum\frac{2a}{a+b+c}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 21-01-2016 - 23:54





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh