Chủ đề này có 238 trả lời

[royal1534]

Xin lỗi,SOC là gì ạ

Đây

[royal1534]

bài 31 có thể dùng S.O.S và S.O.C bài này mình đăng kí nếu ko ra xóa bl của mình nhé tránh spam cho topic  :v :v :v :3 :3

Xin lỗi anh nhưng anh có vẻ rất thích nói những câu như ''có spam k zay,tránh spam cho topic.......''.Nhưng thực ra anh đang spam đấy thôi.Và em nghĩ anh nên đăng những bài viết có tính đóng góp hơn chứ không nói qua loa. Chào anh !

[royal1534]

cho a,b,c là các số thực dương chứng minh $(a+b+c)^{3}\geq \frac{27}{4}(a^{^{2}}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$

Bài này quen thuộc:

Lời giải:

Giả sử $b$ là số nằm giữa $a , c $ \rightarrow $$c(a-b)(b-c)\geq0$$

Từ đó ta có 

$$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le a^2b+b^2c+c^2a+abc+c(a-b)(b-c)=b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b.(a+c)(a+c)\le\frac{4}{27}(a+b+c)^3$$ (BĐT AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-01-2016 - 11:53

[PlanBbyFESN]

Eđit lại cái đề bài này cái.Dấu '=' không xảy ra tại $a=b=c$ @@

Chẹp... tính nhẩm cũng nhầm nữa ~!

 

ĐỀ ĐÚNG:

Bài 32: Cho $a,b,c>0$

CM:  $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$

p/s: 32, 33 chung 1 dạng cả.

 

----------------------------------

 

Bài 30: $a,b,c>0; abc=1$

CM: $\frac{a}{2a^{3}+1}+\frac{b}{2c^{3}+1}+\frac{c}{2a^{3}+1}\leq 1$

 

 Giải:

$\frac{2a}{2a^{3}+1}-\frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}=\frac{-(a-1)^{2}}{(2a^{3}+1)(a^{4}+a^{2}+1)}\leq 0$

 

$\Rightarrow \frac{2a}{2a^{3}+1}\leq \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}$

 

Đưa bài toán về CM:

$\frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{b^{4}+b^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{c^{4}+c^{2}+1}$$\leq 2$

 

Cô si ngược:

$\frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}=1-\frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}+1}=1-\frac{1}{(\frac{1}{a^{2}})^{2}+\frac{1}{a^{2}}+1}$

 

Tương tự: 

$\frac{b^{2}+1}{b^{4}+b^{2}+1}=1-\frac{1}{(\frac{1}{b^{2}})^{2}+\frac{1}{b^{2}}+1}$

$\frac{c^{2}+1}{c^{4}+c^{2}+1}=1-\frac{1}{(\frac{1}{c^{2}})^{2}+\frac{1}{c^{2}}+1}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}=3-\sum\frac{1}{(\frac{1}{a^{2}})^{2}+\frac{1}{a^{2}}+1}$

Áp dụng kết quả bài 29 suy ra ĐPCM.

 

Bài toán CM xong.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

----------------------------------

 

Old and new inequality - Titu Adresscu
File đã dịch .

Cảm ơn vì tài liệu.

 

------------------------------------------

 

bài 31 có thể dùng S.O.S và S.O.C bài này mình đăng kí nếu ko ra xóa bl của mình nhé tránh spam cho topic  :v :v :v :3 :3

 

Làm được bài nào thì cứ đăng lên và yêu cầu gõ đúng Latex, không cần nói ra.

Dù bài bạn "đăng kí" đã được giải thì bạn vẫn có thể đăng giải lên nếu có ý tưởng mới (không cần hay hay ngắn gọn hơn), và topic HẠN CHẾ sử dụng các phương pháp S.O.S, pqr, dồn biến .....

 

p/s: Nếu thích S.O.S thì mời bạn giải Bài 6 với yêu cầu là thật đầy đủ để mọi người tham khảo chứ không đi sâu...~!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 23-01-2016 - 17:47

[Trung Kenneth]

Bài 34: Cho a,b là các số thực thỏa mãn $a+b\neq 0$ 

CMR: $a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\geq 2$

Bài 35: Cho x,y là các số thực thỏa mãn $x\geq 2$ và $x+y\geq 3$ 

Tìm min: $P=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 23-01-2016 - 17:42

[I Love MC]

Bài 34 : Đặt $\frac{-(1+ab)}{a+b}=c$ 
Khi đó Khi đó $c.(a+b)+ab=-1$ 
Ta có $(a+b+c)^2 \ge \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge -2(ab+bc+ac)=2$ (đpcm)

[PlanBbyFESN]

Bài 34: Cho a,b là các số thực thỏa mãn $a+b\neq 0$ 

CMR: $a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\geq 2$

Bài 35: Cho x,y là các số thực thỏa mãn $x\geq 2$ và $x+y\geq 3$ 

Tìm min: $P=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$

Bài 34:

 

$a^{2}+b^{2}+(\frac{1+ab}{a+b})^{2}\geq 2\Leftrightarrow (a+b)^{2}+(\frac{1+ab}{a+b})^{2}\geq 2(ab+1)$

 

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$

Luôn đúng $\Rightarrow$ ĐPCM

 

Bài 35:

Ta có:

$x^{2}+4\geq 4x;y^{2}+1\geq 2y$         (AM-GM)

$\Rightarrow P\geq 4x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}-5$

Cô si tách:

$2(x+y)+\frac{18}{x+y}-\frac{17}{x+y}\geq 2\sqrt{36}-\frac{17}{3}=\frac{19}{3}$

và:

$2x+\frac{8}{x}-\frac{7}{x}\geq 2\sqrt{16}-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{19}{3}+\frac{9}{2}-5=\frac{35}{6}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=2;y=1$

Vậy P_min=$\frac{35}{6}$

P/S:  35 ra 2 lần rồi

P/S lần nữa :32,33

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 23-01-2016 - 18:13

[royal1534]

 

ĐỀ ĐÚNG:

Bài 32: Cho $a,b,c>0$

CM:  $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$

 

Cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức.Ta cần chứng minh:

$$ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq (a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})+\frac{9}{2}$$

Tuy nhiên bđt trên là kết quả của 2 bđt đúng,dễ chứng minh sau:

$$ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq (a+b+c)(\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a})$$

$$ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9$$

Cộng hai vế của 2 bđt trên lại rồi chia cho 2 ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[Namthemaster1234]

Bài 17: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z+2=xyz$

CMR: a, $2.(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\leq x+y+z+6$

        

Bài 18: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx+2xyz=1$

a,$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}.\sqrt{xyz}$

 

Bài 18b sai với bộ $(x,y,z)=(1/2,1/2,1/2)$

 

17a, chặt hơn Schur, nhờ bạn giải giúp.

[phamhuy1801]

Bài 18b sai với bộ $(x,y,z)=(1/2,1/2,1/2)$

 

17a, chặt hơn Schur, nhờ bạn giải giúp.

 

$(a+b)(b+c)(b+c)=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)+2abc \Leftrightarrow  \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)+2abc}{abc}=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+2$

Do đó nếu đặt $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{a+c}{b},z=\frac{a+b}{c}$ thì ta có giả thiết.

Thay vào và dùng trực tiếp $Cauchy$ ta được $ĐPCM$.

[PlanBbyFESN]

 

Bài 32: $a,b,c>0$

CM: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$

 

Bài 33: $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 6(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

 

Cả 2 bài trên chỉ vận dụng 2 cái cơ bản:

 

$\sum (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})\geq 4\sum \frac{a}{b+c}$        (Schwarz)               (33)

và:

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$           (Nesbit)              (32,33)

 

------------------------------------

 

Tiếp theo: 

 

Bài 36:  $x,y>0; x+y=2$

Tìm MIN:    $A=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}$

 

Bài 37:$x,y,z>0$

CM:  $\sqrt{\frac{2x}{x+y}}+\sqrt{\frac{2y}{y+z}}+\sqrt{\frac{2z}{z+x}}\leq 3$

 

Bài 38: $a,b,c>0; abc=1$

CM:  $\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(c+1)(c+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 39: $a,b,c>0$

CM:   $\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{3}+abc+c^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{3}+abc+a^{3}}\geq 1$

 

-----------------------------------

 

Tiếp mục bất đẳng thức ta sẽ tìm hiểu tiếp về phương pháp đổi biến:

 

Ta sẽ xét Bài 29 làm ví dụ:

 

$\sum \frac{1}{x^{2}+x+1}\geq 1$, nhìn lời giải thì có vẻ vô cùng đơn giản nhưng thực ra để mà nghĩ ra được cách ĐỔI BIẾN như vậy là một việc không hề dễ.

 

Theo như kinh nghiệm của mình và tham khảo thì ĐỔI BIẾN khi đối với Cauchy-Schwarz thì chỉ nên áp dụng khi bậc của biến tử lớn hơn biến mấu VÀ khi gặp một bài toán cho tích các biến bằng 1 (thường là bài 3 biến) thì việc đầu tiên nghĩ đến là đặt hay đổi biến.

 

Một số cách đổi biến thông dụng:

 

1. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$

 

2. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

 

3. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{b}{a};\frac{c}{b};\frac{a}{c})$

 

4. $(a,b,c)\rightarrow (ab;bc;ca);(a^{2};b^{2};c^{2})$

 

5. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{bc}{a^{2}};\frac{ca}{b^{2}};\frac{ab}{c^{2}})$

 

6. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{a^{2}}{bc};\frac{b^{2}}{ca};\frac{c^{2}}{ab})$

 

7. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{a^{2}};\frac{1}{b^{2}};\frac{1}{c^{2}})$

 

.......... và còn rất nhiều cách phụ thuộc vào dạng bài và sự sáng tạo của bạn nữa ~!

 

----------------------------------------

 

Bài 40: (một bài ví dụ, nhưng hơi khó hơn do 4 biến)

 

$x,y,z,t>0;xyzt=1$

CM:  $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}\geq 1$

 

 

 

[I Love MC]

Nhân tiện nói về bài $30$ . Nó có vẻ giống bài sau đây 
Bài 41 : Hy Lạp 2002. Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh 
$\sum \frac{a}{4b^2+1} \ge (\sum \sqrt{a^3})^2$

[Gachdptrai12]

bài 40 áp dụng bổ đề sau đây $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$ chỉ cần tương đương là ra

về bài toán bđt cần cm VT$\geq \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+ca}=1$=> dpcm bài này china TST 2004

[PlanBbyFESN]

Bài 36:  $x,y>0; x+y=2$

Tìm MIN:    $A=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}$

Xin lỗi vì Bài 36 không liên quan, mình xin làm luôn bài này để tập trung vào các bài trọng tâm.

 

Bài 36: (bài này dễ thôi, tinh mắt là làm được dễ dàng)

 

$\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}=\frac{\frac{x^{2}}{y}+3y}{-(xy-1)^{2}+1}\geq \frac{x^{2}}{y}+3y=\frac{(2-y)^{2}}{y}+3y=4y+\frac{4}{y}-4\geq 4$

  (AM-GM)

....

Do hơi vội và lộn xộn nên không để ý độ khó của từng bài trên nên đính chính lại tốt nhất ta nên làm bài ví dụ tức bài 40 trước xong rồi đến bài 39 >>>37>>>> 38 để có hiệu quả tốt nhất . Thân!

 

-------------------------------------- 

 

Nhân tiện nói về bài $30$ . Nó có vẻ giống bài sau đây 
Bài 41 : Hy Lạp 2002. Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh 
$\sum \frac{a}{4b^2+1} \ge (\sum \sqrt{a^3})^2$

 

Cảm ơn vì đóng góp cho topic. 

 

Bài 30 chẳng qua làm rõ cho hệ quả của Bài 29, hơn nữa các bài trong topic chủ yếu rèn luyện các bài toán hay nhưng lại áp dụng những kiến thức không phải quá cao siêu nên các bài dạng "KHÔNG MẪU MỰC" tuy bản thân mình cũng khá thích nhưng sẽ không được đào sâu trong topic này ~!@

 

---------------------------------------------------------

 

Đề nghị mọi người khi giải bài hay ra bài đều PHẢI:

- Chú ý đánh ĐÚNG số tự các bài

- Trình bày lời giải không cần phải quá đầy đủ nhưng ít ra cũng phải rõ ràng ý tưởng, mà tốt nhất là trình bày đầy đủ

- Không spam, gõ toán Latex, hạn chế sử dụng các kí hiệu.

 

-----------------------------------------------------------

 

 

bài 40 áp dụng bổ đề sau đây $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$ chỉ cần tương đương là ra

về bài toán bđt cần cm VT$\geq \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+ca}=1$=> dpcm bài này china TST 2004

 

 

Thứ nhất chẳng có bổ đề nào như thế cả

Thứ hai là bổ đề đúng cũng không phải là phương pháp giải của bài này.

Thứ ba mong bạn thay đổi cách trình bày bài giải và đọc kĩ đề, những bài viết tương tự như thế này sẽ không được chấp nhận, khó nghe hơn là spam.

 

P/S: các bài ở đây mình ghi rõ ràng là dùng ĐỔI BIẾN, nếu mọi người có cách khác hay cũng có thể đăng lên, luôn được ủng hộ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 23-01-2016 - 23:55

[Minhnguyenthe333]

Mình xin đóng góp 2 bài này (khá hay)

Bài 42: Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant b\geqslant c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh rằng:

           $[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leqslant \frac{a^2b^2c^2}{8}$

 

Bài 43: Cho $a\neq b \neq c$.Chứng minh:

           $(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geqslant 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 24-01-2016 - 11:06

[Gachdptrai12]

bài 39 chuẩn hóa abc=1 khi chuẩn hóa như vậy ta có quyền đặt a=$\sqrt[3]{\frac{x}{y}}$,b=$\sqrt[3]{\frac{y}{z}}$,c=$\sqrt[3]{\frac{z}{x}}$ đặt như vậy xong phân tích bđt theo cách đặt trên và áp dụng bđt C-S cộng mẫu

[Namthemaster1234]

 

Bài 43: Cho $a\neq b \neq c$.Chứng minh:

           $\frac{(a+b)^2}{a-b}+\frac{(b+c)^2}{b-c}+\frac{(c+a)^2}{c-a}\geqslant 2$

Sai với bộ $(1,2,3)$

[Namthemaster1234]

Mình xin đóng góp 2 bài này (khá hay)

Bài 42: Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant b\geqslant c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh rằng:

           $[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leqslant \frac{a^2b^2c^2}{8}$

 

Bất đẳng thức tương đương là $(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2) \leq a^2b^2c^2$

 

Đúng theo Schur

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 6:  Cho $a,b,c>0$ 

CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Bài này hình như chưa có ai giải thì phải.

 

Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại dưới dạng

\[\frac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{a+b+c} \geqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}).\]

Theo bất đẳng thức Schur bậc ba thì

\[\frac{9abc}{a+b+c} \geqslant 2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2}).\]

Như vậy ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{ab+bc+ca}+2(ab+bc+ca)\geqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\]

tương đương với

\[3(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(ab+bc+ca)^2\geqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca),\]

hoặc

\[3\sum a^2(a-b)(a-c)+2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)] \geqslant 0.\]

Bất đẳng thức thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

 

Nhận xét. Ta có thể làm chặt bài toán lên thành \[\frac{5(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\frac{27abc}{a+b+c} \geqslant \frac{14}{3}(a^2+b^2+c^2).\]

[Gachdptrai12]

44) xyz$\geq 1$ ta cũng có bđt sau $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 24-01-2016 - 11:22