Chủ đề này có 2 trả lời

[quynhquynh]

Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca>0. CMR: \[\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geq \frac{6\left ( ab+bc+ca \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\]

 

[quoccuonglqd]

$\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geqslant \sum \frac{ab}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{5}{4}=\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}$

Áp dụng C-S $\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{1}{2}$

Biến đổi bdt thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a+b+c)^{2}}+\frac{1}{2}\geqslant 3+\frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^{2}}$

$\Leftrightarrow 1\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$(luôn đúng)

[Nguyenhuyen_AG]

 

$\sum \frac{ab}{(a+b)^{2}}+\frac{5}{4}\geqslant \sum \frac{ab}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{5}{4}=\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}$

Áp dụng C-S $\sum \frac{(a+b)^{2}}{4(a^{2}+b^{2})}+\frac{1}{2}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{1}{2}$

Biến đổi bdt thành $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a+b+c)^{2}}+\frac{1}{2}\geqslant 3+\frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^{2}}$

$\Leftrightarrow 1\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$(luôn đúng)

 

 

Sau khi biến đổi và đánh giá em đưa bài toán về chứng minh

\[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+\frac{1}{2} \geqslant \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.\]

Bất đẳng thức này sai với $a=1,\,b=\frac{1}{2},\,c=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-01-2016 - 23:08