Đến nội dung

Hình ảnh

Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30

chứng minh bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
lamgiaovien2

lamgiaovien2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30


smt


#2
Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết

Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30

Tham khảo tại đây


~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#3
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30

$a^{5}b-ab^{5}=a^{5}b-ab+ab-ab^{5}=ab(a^{4}-1)-ab(b^{4}-1)$

Mặt khác, ta có:

$a(a^{4}-1)=a(a-1)(a+1)(a^{2}+1)=a(a-1)(a+1)(a^{2}-4+5)\\=a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)$

Vì $a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)$ là tích $5$ số nguyên liên tiếp nên: $a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)\vdots 30$

Vì $a(a+1)(a-1)$ là tích $3$ số nguyên liên tiếp nên: $a(a+1)(a-1)\vdots 6$ $\Rightarrow 5a(a-1)(a+1)\vdots 30$

Vậy $a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)\vdots 30$, hay: $a(a^{4}-1)\vdots 30$

Tương tự: $b(b^{4}-1)\vdots 30$

Suy ra: $ab(a^{4}-1)-ab(b^{4}-1)\vdots 30$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 17-01-2016 - 19:56


#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

$A=a^5b-b^5a=ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ 
Nếu $a,b$ có tồn tại một số chẵn hoặc $2$ số cùng tính chẵn lẻ thì ta đều có : $A \vdots 2$ 
Nếu $a,b$ có tồn tại $1$ số chia hết cho $3$ hoặc $2$ ko chia hết cho $3$ thì cũng có $A \vdots 2$ . Ví dụ xét 1 số chia hết cho $3$ dư $1$ , số còn lại chia $3$ dư $2$. Vì ta có $(a+b) \vdots 3$ . Nếu $2$ số cùng số dư khi chia cho $3$ thì ta có $a-b \vdots 3$ 
Nếu $a,b$ tồn tại $1$ số chia hết cho $5$ thì ta có $A \vdots 5$. Nếu ko tồn tại số nào chia hết cho $5$ thì áp dụng đ'lí Fermat : 
$A \equiv ab-ba \equiv 0 \pmod{5}$ 
Mà $(3,5,2)=1$ suy ra $A \vdots 3.5.2=30$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 17-01-2016 - 20:45


#5
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

$A=$$a^5$$-b^5a=ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ 
Nếu $a,b$ có tồn tại một số chẵn hoặc $2$ số cùng tính chẵn lẻ thì ta đều có : $A \vdots 2$ 
Nếu $a,b$ có tồn tại $1$ số chia hết cho $3$ hoặc $2$ ko chia hết cho $3$ thì cũng có $A \vdots 2$ . Ví dụ xét 1 số chia hết cho $3$ dư $1$ , số còn lại chia $3$ dư $2$. Vì ta có $(a+b) \vdots 3$ . Nếu $2$ số cùng số dư khi chia cho $3$ thì ta có $a-b \vdots 3$ 
Nếu $a,b$ tồn tại $1$ số chia hết cho $5$ thì ta có $A \vdots 5$. Nếu ko tồn tại số nào chia hết cho $5$ thì áp dụng đ'lí Fermat : 
$A \equiv ab-ba \equiv 0 \pmod{5}$ 
Mà $(3,5,2)=1$ suy ra $A \vdots 3.5.2=30$

Chỗ màu đỏ thiếu $b$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh