Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30
Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30
#1
Đã gửi 17-01-2016 - 19:36
smt
#3
Đã gửi 17-01-2016 - 19:54
Với $a;b$ là các số nguyên. $CMR$ $a^{5}b-b^{5}a$ chia hết cho 30
$a^{5}b-ab^{5}=a^{5}b-ab+ab-ab^{5}=ab(a^{4}-1)-ab(b^{4}-1)$
Mặt khác, ta có:
$a(a^{4}-1)=a(a-1)(a+1)(a^{2}+1)=a(a-1)(a+1)(a^{2}-4+5)\\=a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)$
Vì $a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)$ là tích $5$ số nguyên liên tiếp nên: $a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)\vdots 30$
Vì $a(a+1)(a-1)$ là tích $3$ số nguyên liên tiếp nên: $a(a+1)(a-1)\vdots 6$ $\Rightarrow 5a(a-1)(a+1)\vdots 30$
Vậy $a(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)\vdots 30$, hay: $a(a^{4}-1)\vdots 30$
Tương tự: $b(b^{4}-1)\vdots 30$
Suy ra: $ab(a^{4}-1)-ab(b^{4}-1)\vdots 30$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 17-01-2016 - 19:56
- lamgiaovien2 yêu thích
#4
Đã gửi 17-01-2016 - 19:59
$A=a^5b-b^5a=ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
Nếu $a,b$ có tồn tại một số chẵn hoặc $2$ số cùng tính chẵn lẻ thì ta đều có : $A \vdots 2$
Nếu $a,b$ có tồn tại $1$ số chia hết cho $3$ hoặc $2$ ko chia hết cho $3$ thì cũng có $A \vdots 2$ . Ví dụ xét 1 số chia hết cho $3$ dư $1$ , số còn lại chia $3$ dư $2$. Vì ta có $(a+b) \vdots 3$ . Nếu $2$ số cùng số dư khi chia cho $3$ thì ta có $a-b \vdots 3$
Nếu $a,b$ tồn tại $1$ số chia hết cho $5$ thì ta có $A \vdots 5$. Nếu ko tồn tại số nào chia hết cho $5$ thì áp dụng đ'lí Fermat :
$A \equiv ab-ba \equiv 0 \pmod{5}$
Mà $(3,5,2)=1$ suy ra $A \vdots 3.5.2=30$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 17-01-2016 - 20:45
- Liquid yêu thích
#5
Đã gửi 17-01-2016 - 20:05
$A=$$a^5$$-b^5a=ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
Nếu $a,b$ có tồn tại một số chẵn hoặc $2$ số cùng tính chẵn lẻ thì ta đều có : $A \vdots 2$
Nếu $a,b$ có tồn tại $1$ số chia hết cho $3$ hoặc $2$ ko chia hết cho $3$ thì cũng có $A \vdots 2$ . Ví dụ xét 1 số chia hết cho $3$ dư $1$ , số còn lại chia $3$ dư $2$. Vì ta có $(a+b) \vdots 3$ . Nếu $2$ số cùng số dư khi chia cho $3$ thì ta có $a-b \vdots 3$
Nếu $a,b$ tồn tại $1$ số chia hết cho $5$ thì ta có $A \vdots 5$. Nếu ko tồn tại số nào chia hết cho $5$ thì áp dụng đ'lí Fermat :
$A \equiv ab-ba \equiv 0 \pmod{5}$
Mà $(3,5,2)=1$ suy ra $A \vdots 3.5.2=30$
Chỗ màu đỏ thiếu $b$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh bất đẳng thức
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\geqslant\frac{5}{2}$Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 10-07-2021 chứng minh bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh BĐTBắt đầu bởi Monkey Moon, 27-02-2019 đại số, toán 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
ĐẠI SỐ NÂNG CAO:Bắt đầu bởi Napolli, 13-12-2018 chứng minh bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Phương tìnhBắt đầu bởi luonghien12903, 02-12-2018 chứng minh đại số, bất đẳng thức và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh BĐTBắt đầu bởi WYS, 17-10-2018 bất đẳng thức và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh