Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
Bắt đầu bởi lequangnghia, 19-01-2016 - 12:33
#2
Đã gửi 19-01-2016 - 13:14
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
Ta chứng minh: $\frac{a^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{9}\geq \frac{8}{9}.\frac{a}{b+c}$
$\Leftrightarrow 9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)$
$\Leftrightarrow a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8abc$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$(luôn đúng theo Cô-si)
Tương tự cộng các bđt lại ta có đpcm
- tpdtthltvp, royal1534, haichau0401 và 1 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 19-01-2016 - 13:23
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 Bài viết
Trung úy
Vì sao $9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)\Leftrightarrow a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8abc$ vậy ạ?
- huykietbs yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#4
Đã gửi 19-01-2016 - 13:25
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Vì sao $9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)\Leftrightarrow a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8abc$ vậy ạ?
$9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a(a(b+c)+bc)$
$\Leftrightarrow 9a^{2}(b+c)+(ab+bc+ca)(b+c)\geq 8a^{2}(b+c)+8abc$
Đến đây chuyển vế là được
- tpdtthltvp và haichau0401 thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#5
Đã gửi 19-01-2016 - 15:11
Nguyen Minh Hai
-
- Thành viên
-
- 666 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1 \geqslant \frac{8}{9}\left ( \sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2} \right )$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)} \geqslant \frac{8}{9}\sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2S_c+(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b \geqslant 0$
trong đó $S_c=\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{4}{9(a+c)(b+c)}, S_b, S_a$ xác định tương tự và dễ dàng chứng minh được $S_a,S_b,S_c \geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 19-01-2016 - 15:11
- lequangnghia yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
