Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng là lớn nhất và nhỏ nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
viet14042000

viet14042000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Cho (d) x - 2y -13 = 0

và (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 5

Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng là lớn nhất và nhỏ nhất



#2
Vito Khang Scaletta

Vito Khang Scaletta

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Mình xin phép đổi tên đường thẳng $(d)$ thành $(\Delta)$ nhé, cho dễ hiệu trong việc sự dụng kí hiệu về khoảng cách.

Cho ($\Delta$) x - 2y -13 = 0
và (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 5
Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng là lớn nhất và nhỏ nhất

$(C)$ là đường tròn có tâm $I(3;1)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$
Xét vị trí tương quan giữa $(\Delta)$ và $(C)$, ta thấy $d(I;\Delta)=\frac{|3-2.1-13|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{14}{\sqrt{5}}>R$

$\Rightarrow$ $(C)$ và $(\Delta)$ không có điểm chung.

Gọi tọa độ điểm $M(m;n)$

Khi đó, ta nhận thấy rằng $d(M;\Delta)$ đạt cực tiểu hay cực đại khi và chỉ khi $IM\perp \Delta\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}\perp \overrightarrow{n}$ với $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 1.(m-3)-2(n-1)=0\Leftrightarrow m=2n+1$ $(1)$

Mà do $M\in (C)\Leftrightarrow (m-3)^2+(n-1)^2=5$ $(2)$

Thay $(1)$ vào $(2)$, ta được $(2n-2)^2+(n-1)^2=5\Leftrightarrow \begin{bmatrix} n=0\Rightarrow m=1 \\ n=2\Rightarrow m=5 \end{bmatrix}$

Từ đó suy ra ta được 2 điểm $M_{1}(1;0)$ và $M_{2}(5;2)$ để $d(M;\Delta)$ đạt lớn nhất hay nhỏ nhất.

Đến đây chỉ cần dùng công thức tính khoảng cách để xác định xem cái nào làm cho $d(M;\Delta)$ lớn nhất, cái nào làm cho nhỏ nhất là được rồi :D


$\sqrt{MF}$

>! Vietnamese Mathematical Forum !<





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh