Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$
CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$
Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$
CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$
Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$
CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$
Ta có $\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq x$
$\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq y$
$\frac{z^{2}}{z+x}+\frac{z+x}{4}\geq z$
Cộng theo vế ta được
$\sum \frac{x^{2}}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}$
Mà ta có $1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}\leq x+y+z$
Vậy $\sum \frac{x^{2}}{x+y}\geq \frac{1}{2}$
Best teacher of seaver sea
Gọi A là biểu thức cần chứng minh.
Ta có: A=$(\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{x+y}{4})+(\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4})+(\frac{z^{2}}{z+x}+\frac{z+x}{4})-\frac{x+y+z}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
A$\geq \frac{x+y+z}{2}$
Lại có: $1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z$
Suy ra $A\geq \frac{1}{2}$ (điều cần chứng minh).
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh